点积和叉积

2013-02-23 15:43 三戒1993 阅读(478) 评论(0) 收藏举报

点积：指数量积（也称为标量积、点积、点乘或内积）是接受在实数 R 上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
叉积：也被称为矢量积、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。
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定义：
点积：

两个(来自正交规范向量空间)向量 a = [a₁, a₂, … , a_n] 和 b = [b₁, b₂, … , b_n] 的点积定义为:

$mathbf{a}cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n$

这里的 Σ 指示总和符号。

例如，两个三维向量 [1, 3, ?5] 和 [4, ?2, ?1] 的点积是

begin{bmatrix}1&3&-5end{bmatrix} cdot begin{bmatrix}4&-2&-1end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.

使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作 n×1 矩阵，点积还可以写为:

$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{a}^T mathbf{b} ,$

这里的 a^T 指示矩阵 a 的转置。

使用上面的例子，这将结果一个 1×3 矩阵(就是行向量)乘以 3×1 向量(通过矩阵乘法的优势得到 1×1 矩阵也就是标量):

begin{bmatrix} 1&3&-5 end{bmatrix}begin{bmatrix} 4-2-1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 3 end{bmatrix}.

叉积：

两个向量 a 和 b 的叉积写作 a × b （有时也被写成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。叉积可以被定义为：

mathbf{a}timesmathbf{b} = mathbfhat{n} left| mathbf{a} right| left| mathbf{b} right| sin theta

在这里 θ 表示 a 和 b 之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而 n 是一个与 a 和 b 均垂直的单位矢量。

这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于 a 和 b：若 n 满足垂直的条件，那么 -n 也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k) 的左右手定则。若 (i, j, k) 满足右手定则，则 (a, b, a × b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

给定直角坐标系的单位向量 i，j，k 满足下列等式：

i × j = k j × k = i k × i = j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃]

则

a × b = [a₂b₃ ? a₃b₂, a₃b₁ ? a₁b₃, a₁b₂ ? a₂b₁]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

$mathbf{a}timesmathbf{b}=det begin{bmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 end{bmatrix}$

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a₁, a₂, a₃] 表示成四元数 a₁i + a₂j + a₃k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。