同义词无限不循环小数（无限不循环小数）一般指无理数
- 中文名
- 无理数
- 外文名
- irrational number
- 学 科
- 数学
- 相关概念
- 有理数、实数
常见定义
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无限不循环小数
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的数可以用小数来表示为0.1、0.01、0.001……一个小数从左到右分别由整数部分、小数点、小数部分组成；小数里每相邻两个计数单位的进率都是10。 [1]小数是十进制的表达式。
含有无限个数位的小数称为无限小数。其中，小数部分有若干数重复出现在后面的数位中的数称为无限循环小数，数字排列没有这样的规律的数称为无限不循环小数。
无理数可以定义为无限不循环小数。 [2]
小数的描述方式让人们洞察到无理数的存在，但不便于完整地表达刻画出无理数：因为这要求人们写出无规律的无穷多位数。 [3]
非有理数的实数
整数与非零整数的商称为有理数；非有理数的实数称为无理数。 [4-5]
上述的两种定义方式是完全等价的：每个有理数的十进制表达式（即小数形式）要么是有限的，要么是周期的；每个有限或周期的十进制表达式都一定是某个有理数的十进制表达式。 [5]
常见无理数举例
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圆周率
自然常数
正整数中的非完全平方数的平方根是无理数 [4],例如
发展历史
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无理数的发现是一个曲折的过程。它最初起源于这样一个问题：找到一个正整数，它的平方恰为另一个正整数的平方的两倍，这归结于解关于正整数
虽然如此，无理数最终还是得到了人们的理解，并引起了一次数学思想的深刻变革，使得数的范围从有理数扩充到了实数。
直到 19 世纪末期，康托尔 (Cantor)、戴德金 (Dedekind) 和魏尔斯特拉斯 (Weierstrass)建立了三种不同的理论后，关于无理数的完整的理论才建立起来。 [4]
虽然无理数的定义较为初等易懂，然而，对于一些特定的数(例如
证明举例
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可以证明，任何有理数的平方都不等于 2；也就是说，
定理：
证明：假设存在一个有理数，其平方为 2，即设
设
故假设不成立，
事实上，对于任意的正整数，如果它不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数。
定理：对于不是完全平方数的正整数
证明：类似地，假设
而
假如
综合以上，假设不成立，
除了平方根以外，任意次根号均有类似的结论。以任意次根号下 2 为例，证明如下。
定理：对于任意正整数
证明：假设存在一个有理数，满足
设
故假设不成立，
一些有理数列的极限未必是有理数。
定理：常数
证明 [4]：可以借助幂级数展开
令部分和序列
那么有不等式
然后考虑
其中，
其它性质
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稠密性
有理数和无理数在实数轴上是稠密的。
对该性质的一个形象的描述是：在数轴上任取两个不同的数，其间一定包含了无限多个有理数和无理数。
另一个对稠密性的描述是：一个无理数列的极限可能取到实数中的任何一个数。该描述用拓扑学的语言来说，实数是无理数的闭包。
不可数与连续统势
首先，可以证明无理数是不可数的。
假设无理数是可数的，那么可以将无理数按一定顺序排列出来。此时，构造一个无理数，其小数点后第一位与第一个无理数的该数位不同，小数点后两位与第二个无理数的该数位不同，以此类推，小数点后第
事实上，无理数是具有连续统势的。换句话说，无理数集合与闭区间
勒贝格测度
有理数是零测的。
换句话说，只需要挖去任意短长度总和的一系列线段，就可以在实数轴中除去所有的有理数的部分，保留的部分均为无理数。该性质的证明依赖于有理数的可数性。
应用举例
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许多无理数在现实生活中都有重要的应用价值。
在建筑与艺术设计领域，黄金分割比例(
国际标准纸张的长宽比为
自然常数
一些物理学家认为，许多的物理常数都是无理数。这是因为人类用代数、几何的模型来解释世界，而这些模型都更有可能统一于具有连续统的无理数 [10]。
拓展概念
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无理数可以进一步分为代数数和超越数。
代数数是指那些可以表示为整系数多项式的零点的数，不是代数数的数定义为超越数。有理数都是代数数；无理数中的
