MATLAB实现线性方程组求解的QR分解方法

资源下载链接为： https://pan.quark.cn/s/d9ef5828b597 QR分解是MATLAB中求解线性方程组Ax=b的重要数值方法，其核心思想是将系数矩阵A分解为正交矩阵Q与上三角矩阵R的乘积（A=QR）。这种分解通过正交变换保持数值稳定性，特别适合处理病态矩阵或大规模问题。 在MATLAB中实现QR分解仅需一行代码：[Q,R] = qr(A)。该函数自动采用Householder变换等高效算法，将原始方程组转化为更易求解的上三角系统Rx=Q^Tb。具体求解步骤为： 计算c = Q'*b（正交变换） 通过回代法解Rx=c（因R为上三角矩阵） 示例代码： QR分解的优势体现在： 数值稳定性：正交变换避免条件数放大 通用性：适用于最小二乘、特征值等衍生问题 高效性：MATLAB内置优化实现 实际应用中，建议结合cond(A)检查矩阵病态程度，对条件数较大的问题优先采用QR分解。通过对比直接求解（x=A\b）与QR分解的结果差异，可直观体会数值稳定性的重要性。在数值分析实验中，建议通过修改矩阵规模、条件数等参数，系统观察不同方法的性能表现。