东南大学第五届数学建模竞赛试题

【东南大学第五届数学建模竞赛试题】涉及到两个主要的数学建模问题，分别与物理力学和优化选址相关。 A 题围绕U型溜冰台的优化设计展开，旨在研究溜冰选手在U型台上能达到的最大溜空时间和高度。我们需要理解溜冰台的基本结构，包括底部平台、弧形过渡区以及顶部平台之间的10cm垂直连接区。题目分为四个子问题： 1. 不考虑摩擦力的情况下，选手理论上可以达到的最大溜空高度是多少？这个问题需要运用物理学中的动能和势能转换原理，结合运动员的初始速度和重力加速度来计算。 2. 当过渡区为圆弧形状，如何设计以使选手达到最大的溜空高度？考虑到摩擦力的影响（摩擦系数为0.1），需要通过优化方法，如微分方程或数值模拟，寻找最佳的圆弧半径和倾斜角度。 3. 在上述条件下，计算选手前三次腾空的高度，找出最高的一次。这可能需要多次模拟运动员的滑行过程，考虑每次滑行的动能损失和速度变化。 4. 如果过渡区是椭圆弧段，如何设计以实现最大溜空？椭圆的几何特性使得问题更为复杂，需要找到最佳的长轴和短轴比例，同时考虑到摩擦力对运动员速度的影响。 B 题是所得税缴费点的选址优化问题，涉及地理信息系统（GIS）和运筹学。问题要求： 1. 设定合理的选址标准，这可能包括服务覆盖范围、交通便利性、居民数量、成本效益等因素。 2. 分析原有4个缴费点的合理性，可以通过构建服务半径模型、交通网络分析以及居民需求匹配度来评估。 3. 若需迁移一个缴费点，应选择哪个，并提出合适的迁移位置。这需要综合考虑新址对周围居民的影响，以及与现有缴费点的相对位置。 4. 假设新增一个缴费点，应设置在哪里？这需要在当前网络中找到一个能够最大程度提高服务效率和居民满意度的位置，可能需要运用中心点理论或覆盖模型来求解。 这两个问题都需要参赛者具备扎实的数学基础，包括微积分、力学、优化理论以及数据分析能力。同时，还需要掌握计算机编程技能，以实现模型的计算和仿真。解决这些问题的过程将涉及到大量数据处理、模型建立和实验验证，是对参赛者综合能力的全面考验。