算法设计与分析所有程序.doc

根据给定的文件信息，本文将详细介绍算法设计与分析中涉及递归与分治、动态规划法的多种编程问题及其解决方案。 递归与分治是算法设计中常用的策略。递归是一种通过函数自己调用自己的方式解决问题的方法，常用于解决分治法能有效处理的问题。分治法的核心思想是将一个难以直接解决的大问题分割成若干个规模较小的相同问题，递归求解这些子问题，再合并子问题的解以得到原问题的解。以下列举了部分应用递归思想的典型问题： 1. 求解N的阶乘（N!）问题：通过递归函数定义N!，即N! = N * (N-1)!，同时定义边界条件0! = 1。 2. 斐波那契数列问题：斐波那契数列中的每一项都是前两项的和，递归定义为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。 3. 排列问题：对于求解给定序列的所有排列，可以递归地选择序列中的第一个元素，固定它，然后对剩余的元素进行排列。 4. 整数划分问题：递归思想可以用于找出一个正整数的所有划分方式，即从给定数中选取若干个正整数加起来等于原数的不同组合。 5. 汉诺塔问题：递归地将问题分解为移动较小盘子的子问题，用三根柱子将所有盘子从A柱借助B柱移动到C柱。 6. 插入排序的递归实现：利用递归对数组的一部分进行排序，并将这部分排序后的结果插入到未排序部分的正确位置。 在分治思想的实现方面，文件中提到了以下几种经典算法： 1. 二分查找：在有序数组中通过递归方式不断将区间一分为二，直到找到目标值或确定不存在。 2. 两个大整数的乘法：通过分治法，即“分”成较小的整数乘法然后“治”合并结果。 3. 求数组的最大值与最小值：将数组分成更小的部分，递归求出每个部分的最大值与最小值，最后合并得出整个数组的最值。 4. 合并排序：将数组分成更小的数组进行排序，然后递归合并这些有序的数组段，最终得到整体排序好的数组。 5. 快速排序：选择一个基准值，将数组分成两部分，一部分包含小于基准值的元素，另一部分包含大于基准值的元素，递归对这两部分继续排序。 6. 线性时间选择问题：通过分治法快速找到无序数组中的第k小元素。 7. 残缺棋盘问题：利用递归和分治策略尝试填充残缺的棋盘。 第三章介绍了动态规划法，这是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划通常用于优化问题，其核心在于系统地检查所有可能的解，并把所有子问题的解存储起来，避免重复计算。动态规划法的关键步骤通常包括定义子问题的最优解、建立最优解的递归关系式、计算并存储子问题的最优解。文件中提及了以下动态规划的应用实例： 1. 矩阵连乘问题：通过确定矩阵的乘法顺序来最小化计算乘法的次数。 2. 最长子序列问题（LCS）：寻找两个序列共同的最长子序列。 3. 最大子段和问题：找出一个整数序列中和最大的连续子序列。 4. 图像压缩问题：通过动态规划方法进行有效压缩。 以上是根据给定文件内容总结出的算法设计与分析中递归与分治、动态规划法的知识点概述。实际应用这些算法时，需要结合具体问题的特点进行适配和优化。