2011年美赛优秀论文

### 2011年美赛优秀论文：单板滑雪U型池设计 #### 概述 本篇优秀数学建模论文聚焦于2011年美国数学建模竞赛中的一个实际问题——如何通过数学模型优化单板滑雪U型池的设计，以最大化运动员在空中跳跃的高度（垂直空气）。论文首先假设U型池水平放置，简化问题为运动员沿椭圆形轨道在垂直平面内移动。随后，通过动力学分析、求解微分方程、数值积分及拟合等方法成功估计摩擦力所做的功，并得出结论：U型池越深，摩擦力所作的功越小，垂直空气越大。 为了使模型更接近实际情况，进一步考虑了U型池倾斜的情况，并通过一系列的动力学分析和计算得出结论：沿着斜坡向下的分运动对垂直空气的值没有影响，在这种情况下，问题可以转化为第一种情况。基于第二种模型并引入底部平坦的概念，建立了垂直空气与U型池某些特定部分尺寸之间的数学关系，并找到合适的约束条件。最终，通过LINGO编程确定了最大化垂直空气的边界条件。 此外，文章还进一步分析了如何优化U型池形状以最大化运动员的旋转动作，并提出了安全分析模型来调整U型池形状，提高其整体实用性。 #### 关键知识点详解 ##### 半管道滑雪场地设计模型 - **水平放置模型**：初始假设U型池水平放置，简化问题为运动员仅沿椭圆形轨道在垂直平面内移动。 - **摩擦力分析**：利用动力学原理分析摩擦力对运动员的影响，包括求解微分方程和进行数值积分，以精确计算摩擦力所做的功。 - **倾斜放置模型**：考虑实际情况中U型池往往倾斜放置，通过一系列的动力学分析和计算验证了倾斜角度对垂直空气值的影响。 - **引入底部平坦**：为了更准确地模拟真实环境，模型中加入了底部平坦的设计元素，这有助于运动员更好地控制和调整姿势。 ##### 最大化垂直空气和旋转动作 - **垂直空气的最大化**：通过对不同参数的优化，如U型池的深度、倾斜角度等，找到能够最大化垂直空气的最佳设计方案。 - **旋转动作的最大化**：进一步分析了如何通过优化U型池边缘的垂直面积（建议0.4米）来最大化运动员在空中的旋转动作。 ##### 安全性分析 - **安全分析模型**：为了确保运动员的安全，文章还提出了一套安全性分析模型，该模型考虑了U型池形状对运动员安全的影响，确保设计既实用又安全。 ### 结论 本文通过详尽的动力学分析和数学建模，为单板滑雪U型池的设计提供了一套科学合理的方案。不仅考虑了如何最大化运动员在空中的表现，还兼顾了实际应用中的安全因素，具有较高的实用价值和研究意义。对于未来的单板滑雪赛事组织者和场地设计师来说，这份研究报告将是非常宝贵的参考资料。