计算方法大作业(第二次)

计算方法大作业（第二次） 本次大作业主要涉及计算方法的应用，具体来说是使用三次样条函数插值来解决实际问题。本文将从头开始，详细介绍如何构造三次样条函数，并使用 MATLAB 编程来实现插值过程。 我们需要了解什么是三次样条函数。三次样条函数是一种特殊的插值函数，它可以通过一组给定的插值节点来构造出来。给定一组插值节点 $(x_i, y_i)$，我们可以构造一个三次样条函数 $S(x)$，使得 $S(x_i) = y_i$。 为了构造三次样条函数，我们需要满足以下条件： 1. 插值条件：$S(x_i) = y_i$ 2. 连续性条件：$S'(x_i) = S'(x_{i-1})$ 3. 光滑性条件：$S''(x_i) = S''(x_{i-1})$ 使用这些条件，我们可以构造出一个三次样条函数。具体来说，我们可以使用以下形式： $$S(x) = a_i x^3 + b_i x^2 + c_i x + d_i$$ 其中，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 是未知系数。 使用 MATLAB 编程，我们可以实现插值过程。我们需要定义插值节点和边界条件： ```matlab x1 = [8.125, 8.4, 9.0, 9.485, 9.6, 9.959, 10.166, 10.2]'; y1 = [0.0774, 0.099, 0.280, 0.60, 0.708, 1.200, 1.800, 2.177]'; u1 = 0.01087; un = 100; xx1 = [x1(1):0.001:x1(end)]'; ``` 接下来，我们可以使用 `spline3` 函数来实现插值： ```matlab [yy1, b1, c1, d1] = spline3(x1, y1, xx1, 1, u1, un); ``` 我们可以画出插值曲线的图像： ```matlab plot(x1, y1, 'bo', xx1, yy1, 'r-'); grid on; ``` 在第二部分，我们需要逆时针旋转座标轴 45°，保持节点和边界条件的几何关系不变。我们可以使用以下关系： $$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$$ $$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$$ 其中，$\theta = -\frac{\pi}{4}$。 使用这些关系，我们可以得到旋转后的节点坐标： ```matlab theta = -pi/4; for i = 1:length(x1) x2(i) = cos(theta) * x1(i) - sin(theta) * y1(i); y2(i) = sin(theta) * x1(i) + cos(theta) * y1(i); end ``` 我们可以画出旋转后的插值曲线的图像。 本次大作业主要涉及计算方法的应用，具体来说是使用三次样条函数插值来解决实际问题。我们可以使用 MATLAB 编程来实现插值过程，并画出插值曲线的图像。