单源最短路径--分支限界法

"单源最短路径--分支限界法" 单源最短路径是图论中的一种常见问题，它是指从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径长度。这里的长度是指路上各边权之和。本文将介绍一种解决单源最短路径问题的方法，即分支限界法。 单源最短路径问题的描述： 给定一个带权有向图 G=(V,E)，其中每条边的权是一个整数。另外，还给定 V 中的一个顶点，称为源。现在我们要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。 输入格式： 第一行为一个整数 n，表示包含源在内的顶点的个数，接下来是一个 n*n 的矩阵，矩阵中-1表示此路不通，否则表示从该顶点到另一顶点的距离。 输出格式： 输出为一行共 n-1 个数，按序输出从一号(源)顶点到其它各顶点的最短路径。 分支限界法： 分支限界法是一种常用的解决单源最短路径问题的方法。该方法使用优先队列来存储顶点，优先队列中的每个元素是一个 HeapNode 对象，该对象包含了顶点的编号和从源到该顶点的最短路径长度。算法的主要步骤如下： 1. 初始化：将源顶点加入优先队列，并将所有其他顶点的最短路径长度设置为无穷大。 2. 遍历：从优先队列中取出最小的 HeapNode 对象，遍历该顶点的所有邻居，如果邻居的最短路径长度大于当前的最短路径长度，则更新其最短路径长度，并将其加入优先队列。 3. 重复：重复步骤 2，直到优先队列为空。 时间复杂度： 分支限界法的时间复杂度为 O(n^2logn)，其中 n 是顶点的个数。空间复杂度为 O(n)，用于存储优先队列和最短路径长度数组。 代码实现： 以下是使用 C++ 语言实现的分支限界法代码： ```cpp #include <iostream> #include <queue> using namespace std; #define MAX 9999 #define N 60 int n, dist[N], a[N][N]; class HeapNode { public: int i, length; HeapNode() {} HeapNode(int ii, int l) { i = ii; length = l; } bool operator<(const HeapNode& node) const { return length < node.length; } }; void shorest(int v) { priority_queue<HeapNode> heap; HeapNode enode(v, 0); for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = MAX; dist[v] = 0; while (1) { for (int j = 1; j <= n; j++) if (a[enode.i][j] < MAX && enode.length + a[enode.i][j] < dist[j]) { dist[j] = enode.length + a[enode.i][j]; HeapNode node(j, dist[j]); heap.push(node); } if (heap.empty()) break; else { enode = heap.top(); heap.pop(); } } } int main() { cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) { cin >> a[i][j]; if (a[i][j] == -1) a[i][j] = MAX; } shorest(1); for (int i = 2; i < n; i++) cout << dist[i] << " "; cout << dist[n] << endl; return 0; } ``` 单源最短路径问题是一个常见的图论问题，分支限界法是一种常用的解决方法。通过了解该算法的原理和实现，我们可以更好地解决单源最短路径问题。