【信息安全数学基础】是信息安全领域的一门重要课程，主要涵盖了数学在信息安全中的应用，包括密码学、编码理论、概率统计等方面的基础知识。本题集主要针对整数的可除性、整数性质以及数论中的相关概念进行了练习，旨在帮助学习者掌握基本的数学工具，以解决实际的信息安全问题。
1. **整数的可除性**：题目通过证明展示了整数的可除性原理，例如2、5和7都能整除n，从而得出n可以表示为70的倍数。这反映了在信息安全中，对于数据的处理和加密，我们经常需要寻找数字的公共因子或模运算，以便于数据的加密和解密。
2. **整数幂的性质**：题目指出a³-a可以被3整除，这是基于整数的模运算性质，对于信息安全中的公钥密码系统，如RSA，这样的性质可以用于简化计算并验证加密的有效性。
3. **奇数平方的性质**：证明了任何奇数的平方可以表示为8k+1的形式，这是整数模运算的一个重要应用，对于理解模幂运算和模线性同余方程的求解有着关键作用。
4. **连续整数的乘积**：题目表明三个连续整数的乘积能被6整除，这是因为其中至少有一个是偶数，结合整数的性质，我们可以利用这个结论来设计更安全的密码体制，确保加密过程的整数因子不易被破解。
5. **合数的构造**：展示了如何构造一系列连续的合数，这在信息安全中，如密码强度分析和随机数生成方面，对于理解数字结构和避免简单的重复模式至关重要。
6. **素数判定**：通过经验检验，证明了191和547是素数，这是素数判定的基本方法，而在公钥密码学中，素数的检测和选取是RSA算法的基础。
7. **数的因子分解**：例子中展示了如何找到两个数的最大公约数（GCD），这对于数据压缩、编码和加密算法的设计都非常重要。
8. **素因数的下界**：证明了如果一个数能被三个素数整除，那么这三个素数的乘积至少是该数的立方根的三次方。这个结果有助于理解素因数分解的复杂性，并在设计抗攻击的加密算法时考虑其安全性。
9. **素数的无穷性**：通过反证法证明了形如4k+3的素数无限多，这是素数分布定理的一个实例，对于理解素数在信息安全中的分布和随机性具有重要意义。
10. **整数的欧几里得算法**：展示了欧几里得算法求最大公约数的过程，这是信息安全中计算共同密钥、模逆元等操作的基础。
通过以上习题，学习者可以深入理解整数的性质、素数的特性以及它们在信息安全中的应用，为后续深入学习密码学、网络安全性分析等高级主题奠定坚实的数学基础。
