匈牙利算法--详细讲解

匈牙利算法详细讲解 在计算机科学和图论中,匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的一种高效算法。该算法的提出是为了解决二分图中最大匹配的计算问题。 什么是二分图? 在图论中,二分图是指一个无向图, 其顶点集可以分割为两个互不相交的子集V1和V2,并且图中每条边依附的两个顶点都分属不同的子集。例如,在社会网络中,人和他们喜欢的电影可以构成一个二分图,其中人和电影分别构成两个子集。 什么是二分图的最大匹配? 在二分图中,最大匹配是指选择尽可能多的边,使得图中的每个顶点都和图中某条边相关联的子集。例如,在一个社会网络中,最大匹配可以帮助我们找到最多的人和他们喜欢的电影的匹配。 匈牙利算法 匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的一种高效算法。该算法的基本想法是找到一个增广路径,然后通过取反操作获得一个更大的匹配。增广路径是指图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属于M的边和不属于M的边在P上交替出现。 匈牙利算法的三个结论 1. P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。 2. P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。 3. M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。 匈牙利算法的实现 为了实现匈牙利算法,我们可以使用深度优先搜索(DFS)来寻找增广路径。具体实现步骤如下: 1. 置M为空。 2. 找出一条增广路径P,通过取反操作获得一个更大的匹配M’代替M。 3. 重复步骤2直到找不出增广路径为止。 代码实现 下面是使用C++语言实现的匈牙利算法代码: ```c int match[100]; // 存储集合 m 中的节点 i 在集合 n 中的匹配节点 int n, m; // 二分图的两个集合分别含有 n 和 m 个元素 bool visit[100], map[100][100]; // map 存储邻接矩阵 bool dfs(int k) { for (int i = 0; i < m; i++) { if (map[k][i] && !visit[i]) { visit[i] = true; t = match[i]; match[i] = k; if (t == -1 || dfs(t)) { return true; } match[i] = t; } } return false; } int main() { // ... int s = 0; memset(match, -1, sizeof(match)); for (int i = 0; i < n; i++) { memset(visit, 0, sizeof(visit)); if (dfs(i)) { s++; } } return 0; } ``` 总结 匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的一种高效算法。该算法的基本想法是找到一个增广路径,然后通过取反操作获得一个更大的匹配。匈牙利算法的实现可以使用深度优先搜索(DFS)来寻找增广路径。该算法在实际中有广泛的应用,例如解决社会网络中的匹配问题。





















- Garry92013-07-28讲得挺不错的
- gggggg0001112014-03-20非常详细 赞

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