四川大学 初等数论 洪绍方 英文版

根据给定的文件信息，我们可以提炼出一系列与初等数论相关的专业知识点，这些知识点不仅涵盖了基础理论，还深入到了一些高级概念。以下是对每个章节提及的知识点的详细阐述： ### 1. Divisibility and the Fundamental Theorem of Arithmetic #### §1.1 Division algorithm and m-adic representation - **Division Algorithm**: 这是一种基本算法，用于确定两个整数a和b（其中b不为零）的商和余数。它保证了对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的一对整数q和r（其中0≤r<|b|），使得a=bq+r。 - **m-adic Representation**: m-adic表示法是指任何正整数n可以被表示为m的幂的和的形式，这里的m是某个固定的正整数。例如，二进制数系统就是一种特殊的2-adic表示法。 #### §1.2 Greatest common divisors and least common multiples - **最大公约数(GCD)**: GCD是两个或多个整数共有的最大的正因子。 - **最小公倍数(LCM)**: LCM是能同时被两个或多个整数整除的最小正整数。 #### §1.3 The Euclidean algorithm and continued fractions - **欧几里得算法**: 这是一种高效计算两个整数最大公约数的方法。 - **连分数**: 连分数是一种分数表示方法，其中分子为1，分母为另一个分数或整数的序列。 #### §1.4 The fundamental theorem of arithmetic and p-adic valuation of factorial - **算术基本定理**: 它指出每个大于1的整数都可以唯一地表示为素数的乘积。 - **p-adic valuation of factorial**: p-adic估值用于确定在阶乘中素数p的幂的次数。 #### §1.5 Euclid's theorem and the sieve of Eratosthenes - **欧几里得定理**: 表明存在无限多个素数。 - **埃拉托斯特尼筛法**: 是一种用于找出所有小于给定整数的素数的算法。 #### §1.6 A linear Diophantine equation - **线性丢番图方程**: 形式为ax + by = c的方程，其中a、b和c是整数常数，x和y是未知整数变量。 #### §1.7 Dirichlet drawer principle - **狄利克雷原理**: 又称鸽巢原理，是组合数学中的一个基本原理，用于证明某些情况下的存在性。 ### 2. Congruences #### §2.1 The ring of congruence classes - **同余类环**: 同余关系下的整数集合形成一个环结构。 #### §2.2 Linear congruence - **线性同余方程**: 形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m是已知整数，x是未知数。 #### §2.3 The Euler Phi function - **欧拉φ函数**: 计算在小于等于n的正整数中，与n互质的正整数的个数。 #### §2.4 Chinese remainder theorem and its extension - **中国剩余定理**: 提供了解决一系列同余方程的方法，其中模数两两互质。 #### §2.5 Systems of linear congruences - **线性同余方程组**: 多个线性同余方程的集合，通常求解它们的公共解。 #### §2.6 Some special congruences - **特殊同余方程**: 涉及特定形式或属性的同余方程。 #### §2.7 Pseudoprimes and Carmichael numbers - **伪素数**: 在特定测试下表现为素数但实际上不是素数的整数。 - **卡迈克尔数**: 特殊类型的伪素数，对于所有与它互质的基数a，a^(n-1) ≡ 1 (mod n)都成立。 ### 3. Arithmetical functions and mean values #### §3.1 The ring of arithmetical functions - **算术函数环**: 算术函数构成的代数结构。 #### §3.2 Möbius functions and Möbius inversion formula - **莫比乌斯函数**: 一种重要的算术函数，用于数论中的多种计算。 - **莫比乌斯反演公式**: 提供了算术函数之间的转换方法。 #### §3.3 Multiplicative functions and completely multiplicative functions - **乘积函数**: 如果f(mn)=f(m)f(n)对于所有互质的m和n成立，则f称为乘积函数。 - **完全乘积函数**: 如果f(mn)=f(m)f(n)对于所有的m和n成立，则f称为完全乘积函数。 #### §3.4 Mean values of arithmetic functions - **算术函数的平均值**: 研究算术函数在某些范围内的平均行为。 #### §3.5 Inequalities for π(n) and pn - **π(n)**: 表示不大于n的素数个数的函数。 - **pn**: 第n个素数。 #### §3.6 Principle of cross-classification and its generalization - **交叉分类原则及其推广**: 探讨不同分类下的算术函数性质。 ### 4. Quadratic reciprocity #### §4.1 Quadratic residues - **二次剩余**: 若存在整数x满足x^2 ≡ a (mod p)，则a被称为模p的二次剩余。 #### §4.2 Quadratic reciprocity law - **二次互反律**: 描述了两个不同奇素数的二次剩余性质之间的关系。 #### §4.3 Quadratic residues to composite moduli - **复合模的二次剩余**: 探讨非素数模的二次剩余特性。 #### §4.4 Pell's equations - **佩尔方程**: 形式为x^2 - ny^2 = 1的不定方程，其中n是非平方数。 ### 5. Primitive roots #### §5.1 Polynomials and primitive roots - **多项式与原根**: 研究多项式方程在特定模下是否存在原根。 #### §5.2 Primitive roots to composite moduli - **复合模下的原根**: 探讨非素数模下的原根存在性。 #### §5.3 Power residues - **幂剩余**: 广义上的二次剩余概念，涉及更高次幂的剩余。 ### 6. The Riemann zeta function #### §6.1 Convergence - **黎曼ζ函数的收敛性**: 探讨ζ函数在复平面上的收敛域。 #### §6.2 Application to prime numbers - **应用于素数**: 黎曼ζ函数在解析数论中的关键作用，尤其是在素数分布的研究中。 #### §6.3 Evaluating ζ(2) and ζ(2k) - **计算ζ(2)和ζ(2k)**: 黎曼ζ函数在偶数点的精确值，涉及π的幂。 #### §6.4 Dirichlet series - **狄利克雷级数**: 一类在数论中有重要应用的级数，与算术函数紧密相关。 #### §6.5 Euler product - **欧拉乘积公式**: 将黎曼ζ函数表示为无穷乘积的形式，每个因子对应一个素数。 #### §6.6 Complex variables - **复变量**: 黎曼ζ函数是复变量的函数，研究其在复平面内的性质。 ### 7. Integer matrices #### §7.1 Hermite and Smith normal forms of the 2×2 integer matrices - **埃尔米特和史密斯标准形**: 介绍2×2整数矩阵的特殊分解形式。 #### §7.2 The product of matrices - **矩阵乘法**: 探讨整数矩阵的乘法规则。 #### §7.3 The number of generators for modular matrices - **模矩阵的生成元数量**: 研究模矩阵群的结构和生成元。 #### §7.4 Left association - **左结合**: 讨论矩阵运算中的结合性问题。 #### §7.5 Invariant factors and elementary divisors - **不变因子与基本因数**: 研究整数矩阵分解的固有性质。 #### §7.6 Applications - **应用**: 整数矩阵理论在密码学、编码理论和其他领域中的应用实例。 以上是对洪绍方教授《初等数论》英文版教材各章节所涵盖知识点的详细解释。通过学习这些内容，读者将能够深入了解数论的基本原理和高级理论，从而在数学研究和教学中取得更大的成就。