### 二自由度振动计算详解
#### 一、引言
在机械工程和动力学领域，二自由度振动系统的分析是非常重要的一个环节。这类系统通常包含两个独立的运动变量，例如线性位移和角位移。对于这些系统的动力学分析，我们可以采用不同的方法来建立动力学方程，包括牛顿力学、分析力学中的拉格朗日方程以及影响系数法等。本文将详细介绍这些方法，并结合MATLAB软件的应用，展示如何通过编程来解决实际问题。
#### 二、牛顿力学方法
牛顿第二定律是建立动力学方程的基础，其基本形式为 \(F = ma\)，即力等于质量乘以加速度。对于二自由度系统，我们可以通过分别列出每个自由度的牛顿第二定律方程来建立系统的动力学模型。
假设一个简单的二自由度系统，它包含两个自由度 \(x\) 和 \(\theta\)（分别为线性位移和角位移），可以写出如下的动力学方程：
\[
M_{11}\ddot{x} + M_{12}\ddot{\theta} + K_{11}x + K_{12}\theta = Q_1 \\
M_{21}\ddot{x} + M_{22}\ddot{\theta} + K_{21}x + K_{22}\theta = Q_2
\]
其中，\(M_{ij}\) 表示质量矩阵，\(K_{ij}\) 表示刚度矩阵，\(Q_i\) 表示外力向量。
#### 三、分析力学——拉格朗日方程
分析力学提供了另一种更为普遍的方法来建立动力学方程。拉格朗日方程是基于能量原理的，它考虑了系统的动能 \(T\) 和势能 \(V\)，并通过拉格朗日函数 \(L = T - V\) 来表达。
对于二自由度系统，可以定义拉格朗日函数为：
\[
L = T - V = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + l^2\dot{\theta}^2 + 2l\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta) - \frac{1}{2}k(x-l\theta)^2
\]
由此可以得到拉格朗日方程：
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i
\]
其中 \(q_i\) 代表广义坐标，对于本例而言 \(q_i = (x, \theta)\)。
#### 四、影响系数法——张量算法
影响系数法是一种通过考虑每个自由度单独变化时对其他自由度的影响来建立动力学方程的方法。这种方法特别适用于处理复杂系统。
以二自由度系统为例，影响系数法可以表示为：
- 当 \(x\) 动 1 单位时，\(x\) 向的作用力为 \(K_{11}x + K_{12}\theta\);
- 当 \(\theta\) 动 1 单位时，\(x\) 向的作用力为 \(-K_{11}l_1 + K_{12}l_2\);
- 当 \(x\) 动 1 单位时，\(\theta\) 向的作用力为 \(-K_{11}l_1 + K_{12}l_2\);
- 当 \(\theta\) 动 1 单位时，\(\theta\) 向的作用力为 \(K_{11}l_1^2 + K_{12}l_2^2\);
#### 五、MATLAB 实现
MATLAB 是一种非常强大的工具，可以帮助我们快速地建立并求解动力学方程。以下是一个简化的MATLAB代码示例，用于求解上述二自由度系统的动力学方程：
```matlab
% 定义参数
m = 1; % 质量
l1 = 1; % 长度1
l2 = 1; % 长度2
k = 1; % 弹簧刚度
J = 1; % 转动惯量
% 建立方程
syms x theta t
eq1 = m*diff(x, 2) + J*diff(theta, 2) + k*(x - l1*theta);
eq2 = m*diff(x, 2) - k*l1*theta;
% 求解
sol = dsolve(eq1, eq2, x(t), theta(t));
disp(sol);
```
此代码首先定义了系统的参数，然后建立了动力学方程，并使用MATLAB的 `dsolve` 函数求解该方程组。通过这种方式，我们可以直观地观察到不同方法下系统的动力学行为。
#### 六、结论
通过对二自由度振动系统的动力学分析，我们可以看到不同方法各有优势。牛顿力学方法直观且易于理解，而拉格朗日方程则提供了一种更通用且数学上更优雅的方式来解决问题。此外，影响系数法为复杂系统的分析提供了一种实用的方法。通过MATLAB等现代工具的支持，这些复杂的计算变得简单易行。在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法是非常重要的。
