数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案.doc

根据提供的文档信息，我们可以归纳出以下关键知识点： ### 1. 相对误差与函数误差的计算 #### 知识点一：基本概念 - **相对误差**：指近似值与真实值之差相对于真实值的比例。 - **函数误差**：指因变量输入的微小变化导致的函数输出值的变化。 #### 知识点二：具体计算 - **例1**：已知\(x\)的相对误差为\(d\)，求\(\ln x\)的误差。 - **解答**：设\(x^*\)为\(x\)的近似值，则\(x^*\)的相对误差为\(\frac{|x^*-x|}{x}=d\)。进一步求得\(\ln x\)的误差为\(\ln x^*-\ln x \approx d\)。 - **例2**：已知\(x\)的相对误差为2%，求\(n\)次幂\(x^n\)的相对误差。 - **解答**：利用条件数的概念，对于函数\(f(x)=x^n\)，其条件数\(C(f,x)=\frac{|f'(x)|}{|f(x)|}\)，因此\(C(f,x)=\frac{n|x^{n-1}|}{|x^n|}=\frac{n}{|x|}\)。由此可以计算出\(x^n\)的相对误差大约为\(2n\%\). ### 2. 有效数字的确定 #### 知识点三：有效数字定义 - **定义**：在数值中从左向右数，从第一个非零数字起到最末一个非零数字止的所有数字都称为有效数字。 #### 知识点四：具体应用 - **例3**：判断给定的几个近似数的有效数字数量。 - **解答**：例如\(x_1=1.1021\)为五位有效数字；\(x_2=0.031\)为二位有效数字等。 ### 3. 近似值误差限的计算 #### 知识点五：误差限公式 - **公式**：对于近似值的误差限可通过公式\((\text{误差限})=\text{误差} \times \text{精度}\)来计算。 #### 知识点六：具体计算 - **例4**：利用公式计算特定形式的近似值的误差限。 - **解答**：对于给定的几种形式的表达式，如\(x_1+x_2+x_3+x_4\)，先计算每个\(x_i\)的误差，再通过公式计算总误差限。 ### 4. 函数的条件数及其应用 #### 知识点七：条件数的概念 - **定义**：函数的条件数\(C(f,x)\)定义为\(f(x)\)相对于\(x\)变化的敏感度的度量，通常表示为\(\frac{|f'(x)|}{|f(x)|}\)。 #### 知识点八：应用实例 - **例5**：计算球体积的相对误差限与半径测量的相对误差限之间的关系。 - **解答**：利用条件数计算出度量半径\(R\)时允许的最大相对误差限。 ### 5. 循环迭代过程中的误差累积 #### 知识点九：迭代过程 - **定义**：通过递推公式反复计算的过程。 #### 知识点十：误差累积 - **例6**：考虑一个具体的迭代公式，分析最终结果的误差累积情况。 - **解答**：通过分析迭代公式，逐步计算每一步的结果，并估算最终结果的误差。 ### 6. 解方程的精确度 #### 知识点十一：方程求根 - **例7**：求解给定方程的根，并确保至少具有4位有效数字。 - **解答**：通过解析方法找到方程的解，并检查解的有效数字数量。 ### 7. 积分近似计算 #### 知识点十二：积分近似 - **例8**：当\(N\)充分大时，如何求解特定积分。 - **解答**：利用反三角函数的性质简化积分，从而得出结果。 ### 8. 几何问题中的误差控制 #### 知识点十三：几何测量误差 - **例9**：如何测量正方形边长，使得面积误差不超过一定范围。 - **解答**：基于面积函数，计算出为满足误差要求所需的边长测量精度。 ### 9. 物理模型中的误差分析 #### 知识点十四：物理模型误差 - **例10**：考虑物理模型中参数的不确定性，分析结果误差的影响。 - **解答**：通过分析给定模型中变量的误差，估计模型输出结果的可能误差。 以上是对文档中提及的关键知识点的详细介绍，包括了相对误差、函数误差、有效数字、误差限计算、条件数、迭代误差累积、方程求根、积分近似、几何测量误差以及物理模型误差等内容，涵盖了数值分析的基本概念和技术。