高教版中职数学(基础模块)上册5.6《三角函数的图像和性质》word教案归类.pdf

【三角函数的图像和性质】 三角函数是数学中一类重要的函数，主要包含正弦函数、余弦函数、正切函数等。本节主要探讨的是正弦函数的图像和性质，特别是周期性和有界性。 周期性是三角函数的一个核心特征。一个函数( )yf x 如果存在一个非零常数T，使得对于定义域D内的任何x值，都有x+T也属于D，并且f(x+T) = f(x)，那么函数( )yf x 就被称为周期函数，常数T称为该函数的一个周期。对于正弦函数sin(x)，它的定义域是实数集R，它满足sin(x+2πk) = sin(x)，其中k是整数。因此，2π是正弦函数的一个周期，而最小的正周期是2π，我们称之为最小正周期。 接下来，正弦函数在区间[0, 2π]上的图像可以通过平移得到在其他区间上的图像。例如，通过将[0, 2π]上的图像向左或向右平移2π，4π等，可以得到整个实数轴上的正弦函数图像，形成著名的正弦曲线。正弦函数的图像夹在y=1和y=-1两条直线之间，这表明正弦函数在R上是有界的，其值域是[-1, 1]。 正弦函数还具有以下性质： 1. 它是R内的有界函数，其最大值为1（当x = 2kπ，k是整数时），最小值为-1（当x = (2k+1)π，k是整数时）。 2. 它是周期为2π的周期函数。 3. 它是一个奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。 4. 在每个区间[2kπ, (2k+1)π]（k是整数）上单调递增，从-1增加到1；在每个区间[(2k-1)π, 2kπ]上单调递减，从1减小到-1。 作图方法中，“五点法”是一种简洁有效的技巧。在[0, 2π]上，正弦函数的关键点包括(0, 0)，(π/2, 1)，(π, 0)，(3π/2, -1)，(2π, 0)。通过连接这些点，可以近似描绘出正弦函数的图像。 通过实例，我们可以学习如何利用“五点法”绘制正弦函数及其变形式的图像，以及如何求解与三角函数有关的不等式问题。例如，已知sin(4a)，可以利用sin(x)的有界性得到a的取值范围；求解使sin(2y)x取得最大值的x的集合，需要用到正弦函数的单调性。 在强化练习中，我们可以运用这些知识来绘制sin(x)、sin(2x)的图像，以及解决与三角函数相关的不等式问题。 正弦函数的图像和性质在数学和工程领域都有广泛的应用，理解并掌握这些基本概念对于后续学习和解决实际问题至关重要。