高等数学课件-第八章、第一节：多元函数的概念.ppt

【高等数学】 在高等数学中，多元函数是研究的核心之一，特别是在第八章第一节中，主要探讨了多元函数的基本概念。这些概念对于理解和应用微积分、线性代数以及更高级的数学理论至关重要。 我们要理解的是平面点集和n维空间。平面点集是由平面上的点构成的集合，而n维空间则扩展到更高维度，比如在三维空间中，用坐标(x, y, z)来表示一个点。n维空间不仅包含了点，还涵盖了向量，其中向量可以进行线性运算。 接下来是多元函数的概念。一个多元函数f(x, y)是一个映射，它将平面或高维空间中的点(x, y)映射到另一个值。这个值可以是实数或者更复杂的对象。函数的值域是由所有可能的映射结果组成的集合。函数的定义域则是所有使函数有意义的输入点的集合。 在这一节中，还提到了几个关键的概念： 1. **内点、边界点和外点**：内点是其周围存在一个完全包含在集合内的邻域的点，边界点是任何方向上都有集合外的点的点，而外点则是其周围不存在包含在集合内的邻域的点。开集是只包含内点的点集，而连通集是指无法通过连续的开区间分割成两个非空部分的集合。开区域是连通的开集。 2. **聚点**：聚点是指任何给定的邻域内总能找到集合中的其他点。内点一定是聚点，但聚点不一定是内点，它可以是边界点。例如，(0,0)是(0,0)+r²≤1的聚点，但不属于该集合。 3. **极限**：一元函数的极限描述了随着自变量趋近于某个值，函数值趋近于一个特定常数的过程。在多元函数中，极限的定义类似，只是考虑两个或更多个变量同时趋近于特定值的情况。这涉及到两个变量(x, y)在点(a, b)附近的运动，以及函数f(x, y)如何随着(x, y)接近(a, b)而趋向于A。 此外，高等数学课件还涵盖了练习题和思考题，例如，探索边界点是否一定是聚点，以及聚点是否必须是边界点。这些问题鼓励学生深入理解这些概念并发展分析技巧。 课件通过具体的例子，如求解二元函数的定义域，展示了如何实际应用这些概念。二元函数的图形通常表现为曲面，而求解其极限涉及对多个变量的联合变化进行分析。 总结来说，高等数学的第八章第一节主要介绍了多元函数的基本元素，包括点集、函数、极限和连续性，这些都是深入学习微积分和多元分析的基础。通过对这些概念的掌握，可以更好地理解和解决复杂的空间问题。