### MATLAB数学手册知识点总结
#### 第1章：矩阵及其基本运算
**1.1 矩阵的表示**
- **1.1.1 数值矩阵的生成**
- 使用MATLAB内置函数如`zeros`, `ones`, `eye`, `rand`等来创建不同类型的数值矩阵。
- **1.1.2 符号矩阵的生成**
- 利用`symbols`函数创建符号变量，并通过这些变量构建符号矩阵。
- **1.1.3 大矩阵的生成**
- 通过循环或高级函数如`blkdiag`来生成较大的矩阵结构。
- **1.1.4 多维数组的创建**
- 使用`cat`或`reshape`等函数创建多维数组。
- **1.1.5 特殊矩阵的生成**
- 包括但不限于对角矩阵、三角矩阵等特殊结构矩阵的创建。
**1.2 矩阵运算**
- **1.2.1 加、减运算**
- 直接使用`+`和`-`进行矩阵间的加减运算。
- **1.2.2 乘法**
- 使用`*`执行矩阵乘法；使用`.*`执行按元素乘法。
- **1.2.3 集合运算**
- 如`intersect`, `union`, `setdiff`等用于处理矩阵中的元素集合。
- **1.2.4 除法运算**
- 包括左除`\`和右除`/`。
- **1.2.5 矩阵乘方**
- 使用`^`操作符实现。
- **1.2.6 矩阵函数**
- 如`expm`, `logm`等针对矩阵的操作。
- **1.2.7 矩阵转置**
- 使用`'`或`.'`进行转置。
- **1.2.8 方阵的行列式**
- 利用`det`函数计算。
- **1.2.9 逆与伪逆**
- 分别使用`inv`和`pinv`函数计算。
- **1.2.10 矩阵的迹**
- 使用`trace`函数计算。
- **1.2.11 矩阵和向量的范数**
- 通过`norm`函数计算不同类型的范数。
- **1.2.12 条件数**
- 使用`cond`函数计算。
- **1.2.13 矩阵的秩**
- 通过`rank`函数确定。
- **1.2.14 特殊运算**
- 如`kron`（克罗内克积）等。
- **1.2.15 符号矩阵运算**
- 在符号运算环境下进行矩阵运算。
- **1.2.16 矩阵元素个数的确定**
- 使用`numel`函数计算矩阵中元素的总数。
**1.3 矩阵分解**
- **1.3.1 Cholesky分解**
- 使用`chol`函数对正定矩阵进行分解。
- **1.3.2 LU分解**
- 利用`lu`函数进行分解。
- **1.3.3 QR分解**
- 通过`qr`函数完成。
- **1.3.4 Schur分解**
- 使用`schur`函数实现。
- **1.3.5 实Schur分解转化成复Schur分解**
- 对实矩阵进行Schur分解后，转换为复数形式。
- **1.3.6 特征值分解**
- 利用`eig`函数计算特征值和特征向量。
- **1.3.7 奇异值分解**
- 使用`singular value decomposition (SVD)`即`svd`函数。
- **1.3.8 广义奇异值分解**
- 适用于非方阵的分解。
- **1.3.9 特征值问题的QZ分解**
- 适用于一般矩阵对的特征值问题。
- **1.3.10 海森伯格形式的分解**
- 用于特定类型的矩阵分解。
**1.4 线性方程的组的求解**
- **1.4.1 求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题）**
- 使用`\`或`/`操作符直接求解。
- **1.4.2 求线性齐次方程组的通解**
- 通过基础解系求解。
- **1.4.3 求非齐次线性方程组的通解**
- 结合基础解系和特解求解。
- **1.4.4 线性方程组的LQ解法**
- 通过`lqfactor`等函数实现。
- **1.4.5 双共轭梯度法解方程组**
- 利用`bicg`函数求解。
- **1.4.6 稳定双共轭梯度方法解方程组**
- 使用`bicgstab`函数实现。
- **1.4.7 复共轭梯度平方法解方程组**
- 通过`cgs`函数完成。
- **1.4.8 共轭梯度的LSQR方法**
- 使用`lsqr`函数实现。
- **1.4.9 广义最小残差法**
- 利用`gmres`函数求解。
- **1.4.10 最小残差法解方程组**
- 通过`minres`函数完成。
- **1.4.11 预处理共轭梯度方法**
- 通过`pcg`函数实现。
- **1.4.12 准最小残差法解方程组**
- 使用`qmr`函数求解。
**1.5 特征值与二次型**
- **1.5.1 特征值与特征向量的求法**
- 利用`eig`函数计算。
- **1.5.2 提高特征值的计算精度**
- 通过特定算法改进计算精度。
- **1.5.3 复对角矩阵转化为实对角矩阵**
- 使用相应的转换函数。
- **1.5.4 正交基**
- 通过`orth`函数获得矩阵的正交基。
- **1.5.5 二次型**
- 利用矩阵表示二次型，并通过特定函数分析。
**1.6 秩与线性相关性**
- **1.6.1 矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性**
- 使用`rank`函数计算。
- **1.6.2 求行阶梯矩阵及向量组的基**
- 通过`rref`函数计算行最简形。
**1.7 稀疏矩阵技术**
- **1.7.1 稀疏矩阵的创建**
- 使用`sparse`函数创建稀疏矩阵。
- **1.7.2 将稀疏矩阵转化为满矩阵**
- 使用`full`函数转换。
- **1.7.3 稀疏矩阵非零元素的索引**
- 通过`find`函数获取。
- **1.7.4 外部数据转化为稀疏矩阵**
- 读取外部文件并通过相应函数转换。
- **1.7.5 基本稀疏矩阵**
- 创建特定类型的稀疏矩阵，如稀疏单位矩阵。
- **1.7.6 稀疏矩阵的运算**
- 包括加减乘除等基本运算。
- **1.7.7 画稀疏矩阵非零元素的分布图形**
- 利用`spy`函数可视化稀疏矩阵。
- **1.7.8 矩阵变换**
- 如转置等操作。
- **1.7.9 稀疏矩阵的近似欧几里得范数和条件数**
- 使用`normest`和`condest`函数计算。
- **1.7.10 稀疏矩阵的分解**
- 如`lu`, `qr`等分解方法。
- **1.7.11 稀疏矩阵的特征值分解**
- 通过`eigs`函数求解。
- **1.7.12 稀疏矩阵的线性方程组**
- 利用稀疏矩阵求解线性方程组的方法。
### 第2章：数值计算与数据分析
**2.1 基本数学函数**
- **2.1.1 三角函数与双曲函数**
- 包括`sin`, `cos`, `tan`等函数。
- **2.1.2 其他常用函数**
- 如`sqrt`, `log`, `exp`等。
**2.2 插值、拟合与查表**
- **2.2.1 插值命令**
- 包括`interp1`, `interp2`等。
- **2.2.2 查表命令**
- 通过`lookup`函数实现。
**2.3 数值积分**
- **2.3.1 一元函数的数值积分**
- 使用`integral`函数求解。
- **2.3.2 二元函数重积分的数值计算**
- 利用`integral2`函数实现。
**2.4 常微分方程数值解**
- **2.4.1 常微分方程数值解**
- 通过`ode45`, `ode23`等函数求解。
**2.5 偏微分方程的数值解**
- **2.5.1 单的Poission方程**
- 使用特定的数值方法求解。
- **2.5.2 双曲型偏微分方程**
- 通过`pdepe`函数等方法求解。
- **2.5.3 抛物型偏微分方程**
- 同样使用`pdepe`函数等方法求解。
### 第3章：符号运算
**3.1 算术符号操作**
- **3.1.1 算术符号操作**
- 包括基本的加减乘除等操作。
**3.2 基本运算**
- **3.2.1 函数计算器**
- 使用`simplify`, `expand`等函数简化或展开表达式。
- **3.2.2 微积分**
- 包括`diff`, `integrate`等函数。
- **3.2.3 符号函数的作图**
- 通过`fplot`函数绘制符号函数图像。
- **3.2.4 积分变换**
- 如傅里叶变换等。
- **3.2.5 Taylor级数**
- 使用`taylor`函数计算泰勒展开式。
- **3.2.6 其它**
- 包括多项式处理等。
### 第4章：概率统计
**4.1 随机数的产生**
- **4.1.1 二项分布的随机数据的产生**
- 使用`binornd`函数生成。
- **4.1.2 正态分布的随机数据的产生**
- 通过`normrnd`函数生成。
- **4.1.3 常见分布的随机数产生**
- 如泊松分布、均匀分布等。
- **4.1.4 通用函数求各分布的随机数据**
- 使用`random`函数生成不同分布的随机数。
**4.2 随机变量的概率密度计算**
- **4.2.1 通用函数计算概率密度函数值**
- 通过`pdf`函数计算。
- **4.2.2 专用函数计算概率密度函数值**
- 如`normpdf`等函数。
**4.3 随机变量的累积概率值(分布函数值)**
- **4.3.1 通用函数计算累积概率值**
- 使用`cdf`函数计算。
- **4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量K X≤的概率之和）**
- 通过特定的累积分布函数实现。
**4.4 随机变量的逆累积分布函数**
- **4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值**
- 使用`icdf`函数计算。
- **4.4.2 专用函数-inv计算逆累积分布函数**
- 如`norminv`等函数。
**4.5 随机变量的数字特征**
- **4.5.1 平均值、中值**
- 通过`mean`, `median`等函数计算。
- **4.5.2 数据比较**
- 使用`corrcoef`, `cov`等函数进行比较。
- **4.5.3 期望**
- 利用`expect`函数计算。
- **4.5.4 方差**
- 使用`var`函数计算。
- **4.5.5 常见分布的期望和方差**
- 包括二项分布、泊松分布等。
- **4.5.6 协方差与相关**
- 通过`cov`, `corrcoef`等函数计算。
以上是《MATLAB数学手册》中涉及的主要知识点概述，涵盖了矩阵运算、数值计算、符号运算以及概率统计等方面的核心内容。通过深入学习这些知识点，可以有效地提升在MATLAB中进行数学建模与分析的能力。
