归并求逆序对 分治 递归

### 归并求逆序对 分治 递归 #### 知识点解析 本篇文章主要探讨了如何通过归并排序来求解逆序对的问题。逆序对问题在计算机科学与算法领域中是一个非常典型的应用场景，尤其适用于数据结构与算法的面试题目之中。 #### 逆序对定义 我们需要明确什么是逆序对。在一个数组中，如果对于某两个索引 `i` 和 `j`（`i < j`），有 `A[i] > A[j]`，那么就称这对索引值为一个逆序对。例如，在数组 `[7, 5, 6, 4]` 中，存在逆序对 `(7, 5)`、`(7, 6)`、`(7, 4)`、`(5, 4)` 和 `(6, 4)`，总共 5 对。 #### 归并排序 归并排序是一种经典的排序算法，采用分治策略实现。其基本思想是将数组分成两部分，分别对这两部分进行排序，然后再将它们合并成一个有序数组。具体步骤如下： 1. **分解**：将数组分成尽可能相等的两个子数组。 2. **解决**：递归地对这两个子数组进行归并排序。 3. **合并**：将两个排序后的子数组合并成一个有序数组。 #### 归并求逆序对 在归并排序的过程中，可以巧妙地统计逆序对的数量。当合并两个已排序的子数组时，我们可以通过比较左右两个子数组中的元素来发现逆序对。具体来说，假设左子数组为 `L`，右子数组为 `R`，当前正在比较 `L[i]` 和 `R[j]`： - 如果 `L[i] <= R[j]`，则继续比较下一个元素，即 `i++`。 - 如果 `L[i] > R[j]`，这意味着 `R[j]` 与 `L` 中剩余的所有元素都构成逆序对，因为 `L` 是已排序的。因此，逆序对数量增加 `L` 中剩余元素的个数，即 `mid - i + 1`。 #### 示例代码分析 下面对示例代码进行逐行解释： ```c #include<stdlib.h> #include<stdio.h> ints=0; // 定义全局变量 s 来记录逆序对的数量 ``` ```c voidsort(int*a,intl,intr) { if(l==r) return; intc[10],mid=(l+r)/2,i=l,j=mid+1,k=0; sort(a,l,mid); // 递归调用 sort 函数对左半部分排序 sort(a,mid+1,r); // 递归调用 sort 函数对右半部分排序 while(i<=mid&&j<=r) { if(a[i]<a[j]) c[k++]=a[i++]; // 如果左边元素小于右边元素，则直接放入临时数组 c else { s+=mid-i+1; // 如果右边元素小于左边元素，则更新逆序对数量 c[k++]=a[j++]; } } // 将剩余元素复制到临时数组 c while(i<=mid) c[k++]=a[i++]; while(j<=r) c[k++]=a[j++]; // 将临时数组 c 的内容复制回原数组 for(j=0,i=l;j<k;i++,j++) a[i]=c[j]; } ``` ```c intmain() { inta[10],i; for(i=0;i<10;i++) scanf("%d",&a[i]); // 输入数组 sort(a,0,9); // 调用 sort 函数进行排序并计算逆序对 for(i=0;i<10;i++) printf("%d",a[i]); // 输出排序后的数组 printf("\n"); printf("%d\n",s); // 输出逆序对的数量 return0; } ``` #### 总结 通过对归并排序求逆序对的方法的学习，我们可以了解到如何巧妙地结合分治策略来解决复杂的问题。这种方法不仅高效而且易于理解，是处理逆序对问题时的首选方案之一。