数值分析实验一
一、实验问题
给定下列几个不同类型的线性方程组，请用适当的直接方法求解。
[
4 2 − 3 −1 2 1 0 0 0 0
8 6 − 5 −3 6 5 0 1 0 0
4 2 − 2 −1 3 2 −1 0 3 1
0 − 2 1 5 −1 3 −1 1 9 4
−4 2 6 − 1 6 7 −3 3 2 3
8 6 − 8 5 7 17 2 6 − 3 5
0 2 − 1 3 −4 2 5 3 0 1
16 10 −11 −9 17 34 2 − 1 2 2
4 6 2 −7 13 9 2 0 12 4
0 0 − 1 8 −3 −24 −8 6 3 − 1
]
[
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x 7
x 8
x 9
x 10
]
=
[
5
12
3
2
3
46
13
38
19
21
]
二、实验要求
（1）对上述三个方程组分别利用 Gauss 顺序消去法与 Gauss 列主元消去法求解。
（2）编出算法通用程序。
（3）在应用 Gauss 消去法时，尽可能利用相应程序输出系数矩阵的三角分解式。
三、实验目的
（1）掌握高斯消去法的方法和原理，能够用高斯顺序消元法和高斯列主元法解决线性
方程组。
（2）熟悉高斯顺序消元法和高斯列主元消去法的算法。
（3）能够用编程实现高斯顺序消元法和高斯列主元消去法。
四、算法
高斯消去法分为消元过程和迭代过程。消去过程实际上是把通过有限步的初等变换
（把某行的一个倍数加到另一行或变换某两行的顺序），最终化成上三角矩阵。而迭代过
程是自下而上求解三角方程组。
高斯顺序消去法伪代码：
1.消去过程
对 k=0,2,...,n-2,（数组从 0 开始）循环执行步骤
（1）判断 a[k][k]=0，则将其与下一行互换。
（2）此时若 a[k][k]
≠ 0
则接下一步执行；若 a[k][k]=0,则判断上次互换的行是否已达到
最后一行，若不是则继续执行（1）
对于 i=k+1,k+2,,n-1,循环计算
（1）计算 l[i][k]=a[i][k]/a[k][k]
（3）计算该次初等变换后的矩阵形式
a[i][j]=a[i][j]-l[i][k]*a[k][j],j=k,k+1,…n-1
b[i]=b[i]-l[i][k]*b[k]
2.迭代过程
对最后一行进行直接计算，置 x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1]
