信息安全数学基础答案.doc

【知识点详解】 1. 整数的可除性： 在信息安全数学基础中，整数的可除性是基本概念。例如，题目中的证明表明如果一个数可以被2、5、7整除，那么它可以被2×5×7，即70整除。这基于整数除法定理，即如果a|b且c|b，则ac|b。 2. 数的整除性质： 证明a³-a可以被3整除是通过考虑a对3的余数情况完成的。当a模3的余数为0、1或2时，a³-a都可以被3整除，这是利用了同余性质和整除的传递性。 3. 奇数平方的形式： 证明任意奇数的平方可以表示为8k+1的形式，这是通过展开奇数的平方并利用奇偶性推导出的。这种性质在密码学中用于分析数字的性质，例如在模运算和指数运算中。 4. 连续整数的乘积： 证明三个连续整数的乘积可以被6整除，这是因为三个连续整数中至少有一个是偶数，而偶数乘以任意整数仍然是偶数，同时它们的乘积还可以被3整除，因此可以被6整除。 5. 合数的概念： 构造k个连续正整数，证明它们都是合数。合数是指除了1和它自身外还有其他因子的整数。这里通过将每个数分解为合数形式，证明了它们都不是质数。 6. 素数的判断： 判断一个数是否为素数，通常可以通过试除法，即检查小于该数平方根的所有素数是否能整除该数。题目中通过这种方法分别验证了191、547以及737和747的素数性。 7. 素数分布： 小于5001/2的所有素数列举出来，然后通过删除这些素数的倍数，可以找到剩余的素数。这涉及到素数定理和筛法，对于理解素数在数论中的分布有帮助。 8. 最大公约数： 欧几里得算法求两个数的最大公约数，通过不断取余数直到余数为0，最后的非零余数就是最大公约数。例如，计算(55, 85)的过程就展示了这个算法。 9. 素因数分解： 证明某些数的形式只能由特定类型的素数相乘得到，这里使用了反证法。例如，证明3k+1的形式不可能只由3k-1的形式的素数相乘得到。 10. 无穷多个特定形式的素数： 通过反证法证明形如4k+3的素数有无穷多，这是通过构建一个数N，使得N大于任何已知的4k+3形式的素数的乘积，并且N也是4k+3的形式，从而否定有限个这样的素数的假设。 以上知识点涵盖了整数的性质、素数和合数的性质、最大公约数的计算、以及数论中的一些基本证明方法，这些都是信息安全领域中数学基础的重要组成部分，特别是在密码学和数据安全分析中有着广泛的应用。