根据给定的文件信息，我们可以总结出以下关于“三角形的内切圆”的知识点：
### 一、三角形内切圆的基本概念
1. **定义**：与三角形的每一条边都相切的圆称为该三角形的内切圆。
2. **圆心**：三角形内切圆的圆心称为三角形的内心，它是三角形三个角平分线的交点。
3. **特点**：
- 内心到三角形三边的距离相等。
- 内心一定位于三角形内部。
- 任意一个三角形都只有一个内切圆。
### 二、三角形内切圆的构造方法
1. **确定圆心**：
- 首先作出三角形两个内角的角平分线。
- 这两条角平分线的交点即为圆心的位置。
2. **确定半径**：
- 从确定的圆心出发，向三角形的一边作垂线。
- 垂足至圆心的距离即为内切圆的半径。
### 三、例题解析
#### 例1：作圆，使它和已知三角形的各边都相切
**已知条件**：给定三角形ABC。
**作法步骤**：
1. 作出∠ABC和∠ACB的角平分线BM和CN，交点为I。
2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D。
3. 以I为圆心，ID为半径作圆，该圆即为所求的内切圆。
### 四、三角形内切圆的应用与拓展
1. **内切圆与三角形面积的关系**：设三角形的三边分别为a、b、c，内心为I，内切圆半径为r，则三角形的面积S可通过以下公式计算：\[ S = \frac{1}{2}(a + b + c)r \]
2. **练习题**：
- 边长为3、4、5的直角三角形的内切圆半径为\[ r = \frac{a + b - c}{2} = 1 \]。
- 边长为5、5、6的等腰三角形的内切圆半径为\[ r = \frac{a + b - c}{2} = 1.5 \]。
### 五、相关概念的扩展
1. **多边形的内切圆与外切多边形**：与多边形每条边都相切的圆称为多边形的内切圆；反过来，如果一个圆与一个多边形的每条边都相切，则称这个多边形为该圆的外切多边形。
2. **特殊四边形的内切圆**：菱形和正方形一定有内切圆，而平行四边形、矩形和等腰梯形不一定是内切四边形。
### 六、课堂小结
1. **本节课从实际问题入手**，通过探究三角形内切圆的构造方法，引出了三角形内切圆的相关概念。
2. **通过类比**三角形的外接圆与圆的内接三角形概念，进一步扩展到了三角形的内切圆、圆的外切三角形概念以及多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
3. **学习重点**包括明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别。
4. **解题技巧**在于灵活运用整体思想，在解决实际问题时，要善于将实际问题转化为数学问题进行分析解决。
以上内容涵盖了三角形内切圆的基础理论、构造方法及其应用，希望能够帮助读者深入理解三角形内切圆的相关知识。
