基于傅里叶光学中的4f系统实现光学图像的边缘提取

# 4f系统实现边缘提取 基于傅里叶光学中的4f系统（所有系统参数自定），实现光学图像的边缘提取。研究：1）理论推导出边缘提取算子尺寸与空间复滤波器间空间分布的关系，可利用严格的公式进行推导；2）给出空间复滤波器的振幅和位相分布；3）找一些图片，验证滤波器在边缘提取的效果。 第一部分 边缘提取算子对应空间复滤波器的理论推导 假设算子对应的矩阵为  ，要变换到N×N的屏幕上，则算子的(1,1)点处在屏幕的  位置，则采用离散傅里叶变换：  其中  。X即为空间复滤波器的矩阵求和范围缩小至算子所在的  区域，则：  其中  。 第二部分 空间复滤波器的振幅和位相分布 本次程序采用的是Laplace算子。写成差分形式为：  写成算符的形式为：    做FFT,并将FFT得到的H矩阵设置为与屏幕一样大的N×N，文件夹中USTC.jpg的宽度为N=700，用到的函数为fftshift(fft2(A,N,N))，运行得到H的振幅和位相分布： 在一些文献中，也用拉普拉斯算子的另一种形式：   其傅里叶变换后得到的振幅和位相如下： 第三部分 程序简介  下图是传播的光路 为待处理的图像g(x1,y1)。用RSDiff.m函数模拟衍射传播f后，至L2前入射面。得到U1。经过透镜相当于乘相位  。之后传播f至P2面，P2面为g的频谱G(u,v)。与第二部分中得到的H相乘得到G(u,v)H(u,v)。再经过两段f和一个透镜，相当于傅里叶变换，得到g(x3,y3)=g*h，*代表卷积。 第四部分 程序与运行结果 ```c++ %4fsysteminfourieropticstodetecttheedgeofapicture clear,clc,clf Figure=im2double(imread('USTC.jpg')); Input(:,:)=sqrt(Figure(:,:,3)); nfig=length(Input); lambda=1;f=1500;stepxy=1;k=2*pi/lambda;nscreen=nfig; A=[0,1,0;1,-4,1;0,1,0]; H=fftshift(fft2(A,nscreen,nscreen)); x=-(nscreen/2):stepxy:(nscreen/2-stepxy);y=x'; [XX,YY]=meshgrid(x,y); r=sqrt(XX.^2+YY.^2); Screen=zeros(nscreen,nscreen); Screen((nscreen-nfig)/2+1:(nscreen+nfig)/2,(nscreen-nfig)/2+1:(nscreen+nfig)/2)=Input; U1=RSDiff(f,x,k,Screen); Phi=exp(-1i*k*r.^2/(2*f)); imshow(abs(U1).^2) U11=U1.*Phi; U2=RSDiff(f,x,k,U11); figure; imshow(abs(U2).^2); U22=U2.*H; figure; imshow(abs(U22).^2) U23=RSDiff(f,x,k,U22); U24=U23.*Phi; U3=RSDiff(f,x,k,U24); figure; imshow(abs(U3).^2); figure; imshow(abs(conv2(Input,A,'same')).^2); ``` 其中RSDiff.m函数如下： ```c++ functionOut=RSDiff(z,s,k,object) %functionRSDiffusestheformulainarticle2006tocalculateimage eta=s;x=s;y=s; n=length(s); U=[object,zeros(n,n-1);zeros(n-1,n),zeros(n-1,n-1)]; X=[x(1)-s(n+1-(1:(n-1))),x((n:2*n-1)-n+1)-s(1)]; Y=[y(1)-eta(n+1-(1:(n-1))),y((n:2*n-1)-n+1)-eta(1)]; [XX,YY]=meshgrid(X,Y); r=sqrt(XX.^2+YY.^2+z^2); G=1/(2*pi)*exp(1i*k*r)./r*z./r.*(1./r-1i*k); S=ifft2(fft2(U).*fft2(G)); Out=S(n:end,n:end); end ``` 运行结果：  待处理的图像（大小为700×700像素）：  传播至U1的图像：  在透镜后焦平面的成像（即上图的频谱）  与FFT变换后的边缘提取算子相乘，得到： 再经过两段f和一个透镜，得到原图倒立的边缘像：   与下图直接用conv2函数卷积相比： 如果改用第二种形式的Laplace算子矩阵，即：   传播至U1，U2的图像与原来相同，乘新的算子后得到：  继续传输到L3的后焦平面：  直接利用算符进行卷积得到： 相比较而言，由于衍射效应，4f系统得到的像的边缘分辨不如直接从数学上卷积清晰。但是仍然可以清楚看到圆圈、五瓣梅花、数字1958、文字等元素的边缘。考虑到本次只是简单探究，我并没有进一步尝试调整参数使得像更清晰。如果要调整参数，需要考虑衍射斑和物的大小关系以及采样频率和空间频率的关系。