序贯蒙特卡洛课件

### 序贯蒙特卡洛方法（粒子滤波）知识点详解 #### 一、序言与背景 序贯蒙特卡洛（Sequential Monte Carlo, SMC）方法是一种强大的统计工具，用于近似复杂的概率分布序列。它在多个领域内都有广泛应用，尤其是在物理学中，如计算正算符的特征值、求解偏微分方程/积分方程或模拟聚合物等场景。本文档主要关注SMC在隐藏马尔科夫模型（Hidden Markov Model, HMM）中的应用，并以粒子滤波作为具体实例进行讲解。 #### 二、初步概念 **序贯蒙特卡洛（SMC）**是一组方法，允许我们近似几乎任何概率分布序列。这些方法非常适用于处理随时间变化的复杂系统，例如信号处理、控制系统以及金融领域的预测等问题。SMC方法通常被称作**粒子滤波**，特别是在HMM的应用中。 **粒子滤波**是通过一系列随机样本（称为粒子）来表示一个后验概率分布的方法。每个粒子代表状态空间中的一个潜在状态，并带有相应的权重。随着新数据的到来，粒子及其权重会被更新，以反映对真实状态的最新估计。 #### 三、马尔科夫模型基础 **马尔科夫过程**是一种特殊的随机过程，其中下一个状态仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。具体来说，在离散时间的框架下，马尔科夫过程由其初始密度`X1 ~ µ(·)`和转移密度`Xk|X_{k-1}=x_{k-1} ~ f(·|x_{k-1})`定义。这里的`X1`表示初始状态的概率分布，而`f`则是状态从`x_{k-1}`转移到`x_k`的概率分布函数。 对于序列`X_1^n = (X_1, X_2, ..., X_n)`，其联合概率密度可以写作： \[ p(x_1^n) = p(x_1) \prod_{k=2}^n p(x_k|x_1^{k-1}) = µ(x_1) \prod_{k=2}^n f(x_k|x_{k-1}) \] #### 四、观测模型 在许多实际应用中，我们无法直接观察到马尔科夫过程`{X_k}_{k\geq 1}`的状态；相反，我们只能通过另一个相关的观测过程`{Y_k}_{k\geq 1}`来间接了解。假设在给定`{X_k}_{k\geq 1}`的情况下，`{Y_k}_{k\geq 1}`是独立的，并且边际分布为`Y_k|X_k=x_k ~ g(·|x_k)`。 这意味着观测`Y_1^n`的条件概率密度函数可以表示为： \[ p(y_1^n|x_1^n) = \prod_{k=1}^n g(y_k|x_k) \] 这种模型可以用图示表示，如图所示： #### 五、跟踪示例 **常速模型**：考虑在XY平面上跟踪目标的问题。可以将状态定义为4维向量`X_k = (X_k^1, V_k^1, X_k^2, V_k^2)^T`，其中`X_k^1`和`X_k^2`分别表示在X轴和Y轴上的位置，而`V_k^1`和`V_k^2`分别表示沿X轴和Y轴的速度。该模型假设目标以恒定速度移动。 状态转移方程可以表示为： \[ X_k = AX_{k-1} + W_k \] 其中`W_k`是一个均值为0、协方差矩阵为`Σ`的高斯随机变量，`A`是状态转移矩阵，具体形式为： \[ A = \begin{pmatrix} ACV & 0 \\ 0 & ACV \end{pmatrix} \] 其中`ACV`为： \[ ACV = \begin{pmatrix} 1 & T \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] 协方差矩阵`Σ`为： \[ Σ = σ^2 \begin{pmatrix} Σ_{CV} & 0 \\ 0 & Σ_{CV} \end{pmatrix} \] 其中： \[ Σ_{CV} = \begin{pmatrix} \frac{T^3}{3} & \frac{T^2}{2} \\ \frac{T^2}{2} & T \end{pmatrix} \] 因此，状态转移概率密度函数为： \[ f(x_k|x_{k-1}) = N(x_k; Ax_{k-1}, Σ) \] **观测方程**取决于传感器类型。简单情况下，观测方程可以写作： \[ Y_k = CX_k + DE_k \] 其中`E_k`是一个均值为0、协方差矩阵为`Σ_e`的高斯随机变量。此时观测概率密度函数为： \[ g(y_k|x_k) = N(y_k; Cx_k, Σ_e) \] 而在更复杂的实际情况下，比如仅观测目标相对于原点的角度时，观测方程则变为： \[ Y_k = \tan^{-1}\left(\frac{X_k^2}{X_k^1}\right) \] 以上内容为我们提供了理解序贯蒙特卡洛方法及其在HMM中的应用的基础。接下来，我们可以进一步深入探讨如何利用粒子滤波技术来解决具体的跟踪问题和其他应用场景。