Matlab 复习资料

在MATLAB的学习中，了解和掌握数学中的向量和矩阵范数是非常重要的。向量范数是用来衡量向量大小的一种度量，常见的包括1范数（Taxicab或Manhattan距离），2范数（Euclidean距离）和无穷范数。1范数是一个向量各元素绝对值之和，表示向量的“曼哈顿长度”。2范数是向量的欧几里得长度，即向量的平方和开方。无穷范数则是向量中最大元素的绝对值，代表向量的“最大范数”。 对于矩阵来说，范数有着类似的定义但更复杂。行和范数是矩阵所有行向量的1范数之和的最大值，列和范数是矩阵所有列向量的1范数之和的最大值。谱范数是矩阵与其转置的共轭相乘（即A*A'）后开方的最大特征值，它反映了矩阵的“能量”或者说是对向量作用的放大程度。此外，还有条件数的概念，它是用来衡量矩阵运算的稳定性，例如条件数cond(A) = ||A|| * ||A^-1||，其中||A||表示矩阵A的范数，||A^-1||表示A的逆矩阵的范数。条件数越大，矩阵的运算越不稳定。 MATLAB中可以使用`norm`函数计算向量和矩阵的范数，如`norm(x)`计算向量x的2范数，`norm(A,'inf')`计算矩阵A的无穷范数。条件数可以用`cond`函数计算，如`cond(A)`。 在非线性方程求解方面，MATLAB提供了多种数值方法，包括迭代法。迭代法的核心思想是通过构造一个迭代函数g(x)，使得当x趋近于某不动点时，g(x) = x。全局收敛定理表明，如果g(x)满足I和II两个条件，那么迭代序列会收敛到g(x)在[a, b]上的唯一不动点。牛顿迭代法是常用的非线性方程求解方法，通过泰勒展开线性化非线性方程，迭代公式为x_{k+1} = x_k - f(x_k)/f'(x_k)。牛顿法具有局部平方收敛性，但其收敛性强烈依赖于初始猜测值x_0的选择。 MATLAB的`fsolve`函数可以方便地解决非线性方程组问题，内部可能采用了牛顿法或其他迭代算法。用户只需提供非线性方程的函数句柄和初始猜测值即可。 在实际应用中，理解这些概念并熟练使用MATLAB的相应函数，能够有效地进行数值计算和问题求解。通过复习这些知识点，可以帮助巩固MATLAB的使用技能，并在解决实际问题时更加得心应手。