在数学领域，尤其是复分析和特殊函数理论中，Gamma函数（Γ函数）是一个基础且重要的函数，通常用于在实数和复数域上对阶乘进行推广。Gamma函数的定义为：
Γ(x) = ∫(0, ∞) t^(x-1) e^(-t) dt (x > 0)。
本文探讨了包含Gamma函数的函数对数的完全单调性，即函数在某个区间内不仅单调，而且其所有阶导数也保持相同的单调性。文章中提到的函数f(x)，作为Gamma函数的变形，具有如下形式：
f(x) = x^(1/2) - x e^x Γ(x) (对于区间(0, ∞))，
以及
f(x) = x - x e^x Γ(x) (对于区间(1, ∞))。
函数f(x)的对数形式以及其导数同样被研究：
ln f(x) = (1/2 - nx) ln x + nx + ln Γ(nx)。
为了解析这些函数的单调性，文章采用了斯特灵公式和斯特尔杰斯积分。斯特灵公式是对阶乘函数的渐近展开，它给出了阶乘的一个近似表达式：
n! ~ sqrt(2πn) * (n/e)^n，
而对于斯特尔杰斯积分：
S(x) = ∫(0, x) (ln t - 1) dt/t，
文章深入分析了Gamma函数的导数以及Psi函数（Γ函数的对数导数），Psi函数定义为：
Ψ(x) = d/dx lnΓ(x) = Γ'(x)/Γ(x)。
通过分析函数的高阶导数，文章得出了函数的单调性。例如，通过Psi函数的幂级数展开：
Ψ(x) = -γ + ∑(n=0, ∞) (1/(n+x)) (x > 0)，
其中γ是欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni constant），以及：
Ψ(k)(x) = (-1)^(k+1) * k! ∑(n=0, ∞) (x+n)^(-k-1) (x > 0; k = 1, 2, 3…)。
文章详细讨论了函数对数的二阶导数以及更高阶导数的情况，证明了在某些条件下这些导数可以保证对数函数的完全单调性。例如，通过分析Psi函数的导数，文章证明了对于x > 0, n ≥ 1：
[ln f(n, x)]'' = n(2Ψ'(nx) - 1 + 2n/x) > 0，
其中f(n, x)是依赖于参数n和变量x的函数。这显示了函数对数的二阶导数在所讨论的区间内是正的，进而说明了对数函数保持单调递增的性质。
文章还利用了斯特尔杰斯积分的方法来分析和证明函数的单调性。斯特尔杰斯积分在分析函数的单调性和凸性中起着关键作用，因为它能够给出函数导数的显式表达式。例如，对于函数h(x)，文章通过斯特尔杰斯积分来证明h(x) > 0：
h(x) = ∫(∞, 0) h1(t) e^(-xt) dt > 0 (对于x > 0)，
其中h1(t)是某个特定的积分核函数。这确保了函数h(x)在实数轴上的正性，从而有助于证明主要函数的单调性。
文章中的研究不仅限于函数的单调性，还涉及到了对函数展开式和级数的研究。由于部分内容经过OCR扫描可能存在错误，理解其数学含义需要结合上下文和数学知识进行推敲。整体上，文章通过严谨的数学推导和分析，探讨了特定函数类别的单调性质，这在特殊函数理论的研究中具有重要意义。
