本文的主题是廖山涛的组合引理的另一个证明方法，采用了几何式的方法。廖山涛通过组合引理解决了一些动力系统稳定性问题，该引理与动态系统的结构稳定性和跟踪性质有紧密关联。我们将详细解读该引理的背景、重要性以及几何证明方法。
引言部分简要介绍了廖山涛的组合引理的背景，该引理与动力系统的稳定性问题密切相关，特别在研究微分动力系统中起着重要作用。动力系统稳定性问题的一个关键概念是伪轨道跟踪性质（Pseudo Orbit Tracing Property）。这指的是一旦动态系统的行为与某个近似的轨道足够接近，那么总能找到一条实际的轨道，与近似轨道足够接近。
1979年，廖山涛扩展了这一跟踪性质到具有较弱双曲性质的伪轨道上。1988年，Mather在未给出证明的情况下，使用了伪轨道跟踪性质来证明了结构稳定性猜想。廖山涛用两个关键引理——筛分引理（Sifting Lemma）和阴影引理（Shadowing Lemma）——证明了他的一些显著结果。这些引理后来被Gan概括化，并用以证明了包括廖山涛定理和Gan定理在内的一系列定理。
廖山涛的组合引理之所以重要，是因为它在证明廖山涛定理和Gan定理中发挥了基础性的作用。引理的核心在于给出了定义在没有边界的光滑紧致流形上的微分同胚的某些序列的特性，这些序列被称为A-准双曲序列。对于这种序列，引入了三个条件：
1. 存在一个正常数λ<1，使得对于所有的i，序列中的元素a满足a_i<λ；
2. 对于所有的k，序列中的元素b满足b_i > λ^(k-1)；
3. 对于所有的k=1,2,...,n，有λ^k * a_k < b_k。
在文献中，廖山涛给出了这一组合引理的原始证明，而张勇在本文中提供了一个不同的几何证明方法。
为了给出几何证明，首先必须引入一些符号和定义。这些符号和定义是理解证明细节的基础。例如，这里的λ和序列{a_i}、{b_i}是定义在没有边界的光滑紧致流形M上的微分同胚f上的重要参数和序列。廖山涛的组合引理在研究动态系统的结构稳定性、伪轨道跟踪性质，以及非游荡点的稳定性问题时，为这些复杂问题提供了新的视角和解决方案。
廖山涛的组合引理和相关定理的重要性在于，它为动态系统的分析提供了一种新的、强有力的工具。这些定理和引理在动态系统的分类和稳定性研究中有着广泛的应用。通过这些数学工具，研究者们能够更加深刻地理解动态系统的行为，从而在理论上推动了动力系统稳定性的研究。
廖山涛通过组合引理解决了一些长期以来动力系统中有关稳定性的难题，该引理的一个几何证明不仅增加了我们对引理的理解，也拓展了数学证明方法的应用范围。这一工作对于微分动力系统的研究具有深远的意义，它证明了数学分析在理论物理中的重要性，并为数学的其他分支提供了新的思路和工具。
