GRKT10.rar_四阶龙格库塔_四阶龙格库塔法_龙格-库塔_龙格库塔

共1个文件

c：1个

版权申诉

四阶龙格库塔

四阶龙格库塔法

龙格库塔

龙格库塔法

188 浏览量 2022-07-14 20:36:44 上传评论收藏 996B RAR 举报

四阶龙格库塔法（Fourth-order Runge-Kutta method）是数值积分中常用的一种高精度方法，尤其在解决一阶常微分方程（ Ordinary Differential Equation, ODE）组时，表现出良好的稳定性和精度。这种方法是基于泰勒展开的思想，通过对函数进行局部线性化来近似解的导数，进而逐步推进解的过程。龙格库塔法的基本思想是通过构造一系列中间函数，将微分方程的近似解分为若干个小步骤，然后将这些小步骤的结果组合起来得到整体的近似解。对于一阶微分方程： \[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \] 其中 \(y\) 是自变量 \(x\) 的函数，\(f(x, y)\) 表示微分方程的右端函数，四阶龙格库塔法的步骤如下： 1. **第一步**（k1）：以当前值计算导数 \[ k_1 = h * f(x_n, y_n) \] 其中 \(h\) 是步长，\(x_n\) 和 \(y_n\) 是当前的 \(x\) 和 \(y\) 值。 2. **第二步**（k2）：以 \(k_1\) 更新后的值计算导数 \[ k_2 = h * f(x_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_1) \] 3. **第三步**（k3）：再次更新后计算导数 \[ k_3 = h * f(x_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_2) \] 4. **第四步**（k4）：以完整的下一步值计算导数 \[ k_4 = h * f(x_n + h, y_n + k_3) \] 5. **最终更新**：根据这四个导数的加权平均值更新 \(y\)： \[ y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \] \[ x_{n+1} = x_n + h \] 这个过程会在每一步中重复，直到达到我们想要的解点或者满足停止条件。在C语言中实现四阶龙格库塔法，你需要定义函数 `f` 来表示微分方程，然后创建一个主循环来执行上述步骤。`GRKT10.C` 文件可能包含了这样的实现，包括初始化变量、设置步长、定义微分方程以及执行四阶龙格库塔算法的循环。实现时需要注意以下几点： - 步长 \(h\) 的选择会影响精度和计算效率。太小可能导致过多计算，太大可能降低精度。 - 为了确保稳定性，微分方程的解不应过于复杂，且 \(f(x, y)\) 应该是连续的。 - 对于有界区域的解，需要设定适当的终止条件，例如当 \(x\) 达到某个特定值时停止计算。 - 在实际应用中，可能会用到适应步长控制，根据误差估计动态调整步长，以提高效率和精度。四阶龙格库塔法是一种强大的工具，广泛应用于物理、工程、生物和经济等多个领域。通过C语言实现，可以更好地理解其工作原理，并为数值模拟提供高效且精确的解决方案。

资源详情

资源评论

资源推荐

收起资源包目录

GRKT10.rar （1个子文件）

GRKT10.C 2KB

#include "stdio.h" #include "stdlib.h" void RKT(t,y,n,h,k,z) int n; /*微分方程组中方程的个数，也是未知函数的个数*/ int k; /*积分的步数(包括起始点这一步)*/ double t; /*积分的起始点t0*/ double h; /*积分的步长*/ double y[]; /*存放n个未知函数在起始点t处的函数值,返回时,其初值在二维数组z的第零列中*/ double z[]; /*二维数组,体积为n x k.返回k个积分点上的n个未知函数值*/ { extern void Func(); /*声明要求解的微分方程组*/ int i,j,l; double a[4],*b,*d; b=malloc(n*sizeof(double)); /*分配存储空间*/ if(b == NULL) { printf("内存分配失败\n"); exit(1); } d=malloc(n*sizeof(double)); /*分配存储空间*/ if(d == NULL) { printf("内存分配失败\n"); exit(1); } /*后面应用RK4公式中用到的系数*/ a[0]=h/2.0; a[1]=h/2.0; a[2]=h; a[3]=h; for(i=0; i<=n-1; i++) z[i*k]=y[i]; /*将初值赋给数组z的相应位置*/ for(l=1; l<=k-1; l++) { Func(y,d); for (i=0; i<=n-1; i++) b[i]=y[i]; for (j=0; j<=2; j++) { for (i=0; i<=n-1; i++) { y[i]=z[i*k+l-1]+a[j]*d[i]; b[i]=b[i]+a[j+1]*d[i]/3.0; } Func(y,d); } for(i=0; i<=n-1; i++) y[i]=b[i]+h*d[i]/6.0; for(i=0; i<=n-1; i++) z[i*k+l]=y[i]; t=t+h; } free(b); /*释放存储空间*/ free(d); /*释放存储空间*/ return; } main() { int i,j; double t,h,y[3],z[3][11]; y[0]=-1.0; y[1]=0.0; y[2]=1.0; t=0.0; h=0.01; RKT(t,y,3,h,11,z); printf("\n"); for (i=0; i<=10; i++) /*打印输出结果*/ { t=i*h; printf("t=%5.2f\t ",t); for (j=0; j<=2; j++) printf("y(%d)=%e ",j,z[j][i]); printf("\n"); } } void Func(y,d) double y[],d[]; { d[0]=y[1]; /*y0'=y1*/ d[1]=-y[0]; /*y1'=y0*/ d[2]=-y[2]; /*y2'=y2*/ return; }