第一章：极限与连续——考研的基础
极限是高等数学中的一个核心概念，它是微积分的基础。无论是求解导数还是积
分，极限都扮演着至关重要的角色。因此，考研中的极限题型也经常出现在考试
中。理解极限的本质，能够让我们在解题时游刃有余。
1.1 极限的定义
我们先来看极限的基本定义。设有函数 f(x)，如果当 x 趋近于某个数值 a 时，
f(x) 的值趋近于 L，那么就说：
lim(x→a) f(x) = L
这意味着，x 趋近于 a 时，函数 f(x) 可以无限接近 L，但不一定在 a 处取到
这个值。极限的核心就是描述函数行为的变化趋势，而不是精确的值。
举个简单的例子，假设我们有一个函数 f(x) = sin(x)/x，当 x → 0 时，直接代入 x
= 0 会出现一个 0/0 的不确定型，这时我们就需要用极限来解决。通过洛必达
法则或是已知极限公式，可以得出：
lim(x→0) sin(x)/x = 1
1.2 极限计算技巧
1.2.1 洛必达法则：
洛必达法则在遇到不定型如 0/0 或 ∞/∞ 时特别有效。简单来说，当你遇到不
定型时，可以对分子和分母分别求导，再进行极限计算。以极限 lim(x→0)
sin(x)/x 为例，通过洛必达法则我们可以分别求分子的导数和分母的导数，得到：
lim(x→0) cos(x)/1 = 1
1.2.2 有理化技巧：
有时会遇到根号下的极限问题，这时可以通过有理化的技巧来解决。比如：
lim(x→0) (√(x+1) - 1)/x
此时，直接代入会得到 0/0 的不定型，我们可以通过有理化分子来解决：
(√(x+1) - 1) * (√(x+1) + 1) / (x * (√(x+1) + 1))
通过这种技巧，最终可以求得极限值为 1/2。
1.3 连续性与间断点
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