Leslie人口模型是一种用于研究生物种群动态的数学模型，特别是在人口统计学和生态学中。该模型由英国数学家Peter Leslie在1950年代提出，主要用于分析年龄结构对种群增长的影响。模型的核心是假设种群被分为多个年龄组，并且不同年龄组的繁殖率和死亡率不同。它特别关注雌性个体的数量，因为它们直接影响种群的繁殖潜力，假设性别比例为1:1。
在Leslie模型中，时间被离散化为等长的时间段，与年龄组的区间相等。每个年龄组的雌性个体在每个时间段内的生育率（雌性）表示为`bi`，而死亡率则表示为`di`，存活率为`si = 1 - di`。模型通过建立差分方程来描述这些动态变化，公式如下：
\[ n_t = \sum_{i=1}^{m} b_in_{t-i} - d_in_t \]
其中，`n_t`表示在时间`t`时第`i`年龄组的雌性个体数量。如果至少有一个`bi`大于0，种群将能够持续增长。
Leslie矩阵（L矩阵）是Leslie模型的关键工具，它是一个m×m的矩阵，其元素`L_{ij}`表示从第`j`年龄组到第`i`年龄组的个体转移率。矩阵的第一列代表各年龄组的出生率，其余列代表从上一时间段到当前时间段的存活率乘以年龄组的生育率。L矩阵的正特征根`λ_0`是唯一的，单重的，它决定了种群的长期增长速率。如果`λ_0 > 1`，种群将增长；如果`λ_0 = 1`，种群将保持不变；如果`λ_0 < 1`，种群将减少直至灭绝。
Leslie矩阵的对角化可以用来找到稳定的种群分布`n*`，即使得`L* n* = λ_0 n*`，其中`L*`是对角化的L矩阵，`n*`是稳定分布向量。这个稳定分布不受初始年龄分布的影响，当时间足够长时，种群的年龄结构将趋向于`n*`。
此外，模型中的净增长率`R`定义为`R = λ_0`，它表示平均每个妇女一生中所生女孩数。`R`的值对于理解种群的未来动态至关重要。如果`R > 1`，种群将经历指数增长；如果`R = 1`，种群数量将维持稳定；如果`R < 1`，种群将逐渐衰退。
Leslie模型的一个关键应用是进行稳定性分析，通过分析`L`矩阵的特征值和特征向量，可以预测种群在不同条件下的动态行为。这种模型对于政策制定者和生态保护者来说非常有用，因为他们可以预测种群的长期趋势，从而制定有效的管理和保护策略。
Leslie人口模型提供了一个框架，用以研究年龄结构如何影响生物种群的动态。通过考虑年龄特定的生育和死亡率，模型能更精确地预测种群增长和稳定状态，为生态保护、资源管理以及人口预测等领域提供了有力的数学工具。
