数学建模学习方法-Leslie人口模型.doc

《数学建模学习方法-Leslie人口模型》 Leslie人口模型是20世纪40年代提出的一种离散人口增长模型，主要用于预测人口按年龄组的变化。该模型假设时间离散化，仅考虑女性人口发展，因为假设男女比例为1:1。模型将女性分为多个年龄段，通常按照一定年龄间隔划分，并假设每隔一定时间间隔观察一次，期间人口数量不变。模型的核心在于考虑女性的生育率和死亡率，生育率仅与年龄段有关，存活率也与年龄段有关，不考虑外部因素如资源限制或灾难。 模型表达式可以写成矩阵形式，其中L矩阵的元素定义为各年龄段女性的生育率和死亡率。矩阵L的特性对人口发展趋势至关重要。根据模型设定，有以下三个定理： 1. 定理1：L矩阵有一个唯一的、多重为1的正特征根，对应的特征向量与年龄结构有关。 2. 定理2：L矩阵的任意特征根与其逆的特征根相等。 3. 定理3：L矩阵的第一行中若存在连续的非零元素，那么当时间足够大时，人口年龄结构向量趋于稳定。 这些定理的证明未在此处详述，但它们提供了人口动态的关键信息。例如，定理3表明，随着时间的推移，人口年龄结构会趋于稳定，而各年龄组人口数将按特定比例增长。这可以通过特征根的性质来判断人口的增减趋势：当特征根大于1时，人口增加；小于1时，人口减少；等于1时，人口保持稳定。 净增长率R，定义为每个妇女一生中所生女孩的平均数，是判断人口增长的关键指标。R>1表示人口增长，R<1表示人口下降。因此，通过调整模型中的生育率和死亡率，可以分析人口政策对人口增长的影响。 Leslie模型在实际问题中有广泛的应用，例如公园大象管理。以南非一家自然公园为例，公园希望控制大象数量在11000头左右。过去的做法是捕杀或迁移大象，但现在面临公众反对和新避孕技术的出现。利用Leslie模型，可以模拟不同策略（如使用避孕针）对大象种群数量的影响，从而制定更为人道且有效的管理政策。 Leslie人口模型提供了一种理解复杂人口动态的工具，它考虑了年龄结构、生育率和死亡率等关键因素，为政策制定者提供了定量分析人口趋势的框架。在实践中，该模型可以应用于各种生物种群管理问题，帮助制定可持续的管理策略。