实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案.doc

实变函数论与泛函分析是数学领域中的高级课程，主要研究实数或者函数空间的性质，以及在这些空间上的算子理论。曹广福编写的《实变函数论与泛函分析》一书提供了深入的学习材料。以下是部分章节习题的解答概述： 1. 题目涉及到矩阵乘法的性质，特别是逆矩阵的概念。这里证明了矩阵乘积\( (CBA)^{-1} = B^{-1}A^{-1}C^{-1} \)成立的充要条件是\( AC = I \)，其中\( I \)是单位矩阵。证明过程中利用了矩阵乘法的可逆性以及逆矩阵的性质。 2. 题目涉及到了集合的极限操作。特征函数\( \chi_A(x) \)定义为集合\( A \)的成员在\( x \)处的指示函数，值为1当\( x \in A \)，0否则。这里证明了如果\(\{A_n\}\)是一序列集合，并且\( \inf A_n \)和\( \sup A_n \)存在，那么\( \inf A_n \)和\( \sup A_n \)的特征函数的极限分别是这两个集合的特征函数。 3. 题目涉及到集列的正交性。如果\(\{A_n\}\)和\(\{B_n\}\)是两个集列，其中\( A_1 \cup B_1 \)是离散的，证明了如果\( A_n \cap B_n = \emptyset \)对所有\( n \)，那么\(\{A_n\}\)和\(\{B_n\}\)互相正交，并且\( \sum_{i=1}^{\infty} |A_i| + |B_i| = |A_1 \cup B_1| \)。 4. 题目考察了函数序列的极限。给定函数\( f_n \)在E上一致收敛于\( f \)，证明对于任何常数\( a \)，\( af_n \)也一致收敛于\( af \)。这是通过展示\( \lim_{n\to\infty} \inf |af_n - af| = 0 \)来完成的。 这些解答揭示了实变函数论与泛函分析中的基本概念，包括矩阵运算、集合的极限行为、函数序列的收敛性和正交集列。理解这些问题的解答有助于深化对这些高级数学主题的理解。