《形式语言与自动机》第四讲的主题聚焦于有限状态自动机（Finite State Automata, 简称FSA），这是理论计算机科学中的一个重要概念。有限状态自动机是一种数学模型，常用于描述和分析字符串的模式识别问题，尤其在文本搜索、编译器设计和正则表达式等领域有着广泛的应用。
有限状态自动机主要分为两类：确定有限自动机（Deterministic Finite Automata, DFA）和非确定有限自动机（Nondeterministic Finite Automata, NFA）。DFA是更为基础的一类，它的行为完全确定，对于每个状态和输入符号，都有唯一的一个后续状态。NFA则允许有多个后续状态，即在某个状态下接收到某个输入时，机器可以非确定地进入多个状态之一。
DFA的形式定义通常是一个五元组A = (Q, Σ, δ, q0, F)，其中：
1. Q是有限状态集，包含了自动机的所有可能状态，如{q0, q1, q2, q3}。
2. Σ是有限输入符号集，表示自动机可以接收的输入，如{0, 1}。
3. δ是转移函数，定义了从一个状态到另一个状态的规则，δ: Q × Σ → Q。
4. q0是开始状态，即自动机在处理输入字符串之前所处的状态。
5. F是终态集合，表示能够接受输入字符串的状态集合，如{q0, q3}。
转移函数δ决定了自动机如何根据输入符号进行状态的转换。例如，如果δ(q0, 0) = q2，这意味着当自动机处于状态q0且接收到输入0时，会转移到状态q2。
DFA可以通过转移图或转移表来直观地表示。转移图是用节点表示状态，用边表示状态间转移的图形，而转移表则是以矩阵形式列出所有状态和输入符号对应的新状态。
DFA接受输入符号串的过程是自左向右逐字符扫描，每读取一个字符，自动机就会根据当前状态和该字符在转移函数δ中找到下一个状态。如果最后到达的是终态，那么这个输入字符串就被DFA接受。
例如，给定一个DFA，状态集Q={q0, q1, q2, q3}，输入符号集Σ={0, 1}，开始状态q0，终态集合F={q0, q3}，以及转移函数δ，对于输入串001011，DFA会按照以下步骤进行：
1. 开始于q0，读取0，转移到q2。
2. 在q2，读取第二个0，仍停留在q2。
3. 读取1，转移到q1。
4. 读取第三个0，转移到q3。
5. 接下来的1，再次使自动机回到q1。
6. 最后一个1，自动机又返回到q2。
由于最后状态q2是终态，所以输入串001011被接受。
总结来说，有限状态自动机，尤其是确定有限自动机，是形式语言理论的基础工具，它们提供了一种有效的方式来识别和处理特定类型的字符串序列。通过理解和掌握DFA的原理，可以解决许多实际问题，比如文本过滤、数据验证等。此外，尽管这里只讨论了DFA，但NFA的引入和它与DFA的等价性也是形式语言与自动机领域中的重要议题。
