【知识点详解】
高中数学中的平面向量数量积是向量理论中的重要概念，它涉及到向量的几何特性、代数运算以及在实际问题中的应用。以下是关于这一主题的详细阐述：
1. **向量的数量积定义**：
- 向量`a`与`b`的数量积（或内积）定义为它们的模长与夹角余弦的乘积，即`a·b = |a||b|cosθ`。这里的`|a|`和`|b|`分别代表向量`a`和`b`的模长，`θ`是它们之间的夹角。对于零向量，其与任何向量的数量积都是0。
2. **向量的投影**：
- 向量`a`在向量`b`方向上的投影是`|a|cosθ`，反之亦然。这个投影可以理解为将`a`按方向`b`拉直后与`b`方向平行的部分的长度。
3. **向量的夹角**：
- 两个非零向量`a`和`b`之间的夹角`θ`的范围是0°到180°。当夹角为90°时，称`a`和`b`垂直，记作`a⊥b`。
4. **向量数量积的运算律**：
- 交换律：`a·b = b·a`。
- 数乘结合律：`(λa)·b = a·λb`。
- 分配律：`(a + b)·c = a·c + b·c`。
5. **向量数量积的性质**：
- 单位向量`e`与任何向量`a`的数量积等于`a`在`e`方向上的分量，即`e·a = a·e = |a|cosθ`。
- `a·b = 0`意味着向量`a`与`b`垂直。
- 当`a`和`b`同向时，`a·b = |a||b|`；反向时，`a·b = -|a||b|`。
- 特别地，向量自身的数量积`a·a = |a|^2`，表明向量的模长可以通过数量积求得。
6. **坐标表示**：
- 对于坐标表示的向量`a = (x1, y1)`和`b = (x2, y2)`，它们的数量积可以表示为`a·b = |a||b|cosθ = x1x2 + y1y2`。当`x1x2 + y1y2 = 0`时，`a`与`b`垂直。
7. **相关结论**：
- 向量在另一个向量方向上的投影可能是负数，表示投影的方向与规定的正方向相反。
- 两个向量的数量积是一个实数，而向量的加法、减法和数乘运算的结果是向量。
- 由`a·b = 0`不能得出`a = 0`或`b = 0`，因为`a`和`b`可能垂直。
- 在三角形`ABC`中，向量`a`和`b`的夹角并不一定是∠`ABC`，而是可能与之相关联的其他角度。
8. **应用示例**：
- 在题目中，我们看到关于向量投影、数量积的计算，以及通过数量积判断向量夹角的问题。例如，在题组一中，向量的投影可以是负数；题组二中，通过计算两个向量的数量积和模长，可以找到它们的夹角；题组三则考察了数量积与向量夹角关系的辨析，强调了数量积大于0对应锐角。
通过深入理解和掌握这些知识点，学生能够解决涉及平面向量数量积的各种问题，并在高中数学的学习中取得进步。
