Complex numbers powers and roots
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El documento explica cómo convertir números complejos de la forma binómica (a + bi) a la forma trigonométrica (r(cosθ + isenθ)) usando dos fórmulas. También describe cómo aplicar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias o extraer raíces usando la forma trigonométrica.
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- 1. G. Edgar Mata Ortiz
- 2. Los números complejos generalmente se representan en forma binómica:
- 3. La forma binómica del número complejo es útil para efectuar las operaciones aritméticas básicas; suma, resta multiplicación y división.
- 4. Para elevar un número complejo a una potencia, o extraer raíces cuadradas, se emplea el Teorema de Möivre, el cuál requiere que el número esté expresado en forma trigonométrica.
- 5. Para comprender mejor el proceso que nos permite convertir la expresión de un número complejo de la forma binómica a la forma trigonométrica debemos recordar el plano complejo.
- 6. Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 Originalmente el número está expresado en forma binómica.
- 7. Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 Originalmente el número está expresado en forma binómica. Debe convertirse a la forma trigonométrica
- 8. Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 Originalmente el número está expresado en forma binómica. Debe convertirse a la forma trigonométrica 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
- 9. Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 Esta conversión se efectúa mediante dos fórmulas
- 10. Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b. 𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒃 𝒂
- 11. Expresar el número: En forma trigonométrica 𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓 𝟐𝟖 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊 𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2
- 12. Expresar el número: En forma trigonométrica 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓 𝟐𝟖 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊 𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2 𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝒓 = 𝟐𝟖𝟎𝟗 𝒓 = 53 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏. 𝟔𝟎𝟕 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒
- 13. 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊 𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒 𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)
- 14. 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊 𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒 𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) Forma binómica Forma trigonométrica
- 16. Para elevar un número complejo a una potencia entera se aplica el Teorema de: De Möivre
- 17. Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el Teorema:
- 18. Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:
- 19. Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:
- 20. Ejemplo: Elevar el número z =28+45i, al cuadrado:
- 21. Puede parecer muy complicado convertir primero a la forma polar y luego aplicar el teorema de De Möivre, sin embargo, este método es muestra su utilidad cuando se eleva a potencias muy grandes. Por ejemplo: Eleva z =1–i, a la décima potencia.
- 23. Para obtener la raíz cuadrada, cúbica o enésima, también se aplica el Teorema de: De Möivre
- 24. Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el teorema, escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria.
- 25. Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el teorema, escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria y, tomando en cuenta que las funciones trigonométricas son periódicas, realizar un ajuste en a fórmula.
- 26. El ajuste en la fórmula consiste en agregar la periodicidad como se muestra:
- 27. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
- 28. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
- 29. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
- 30. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.
- 31. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 32. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 33. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 34. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre. La primera de las tres soluciones es: 𝐤 = 𝟎
- 35. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 36. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre. La segunda de las tres soluciones es: 𝐤 = 𝟏
- 37. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
- 38. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre. La tercera de las tres soluciones es: 𝐤 = 𝟐
- 39. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Las tres soluciones en forma trigonométrica son:
- 40. Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i Las tres soluciones en forma binómica son:
- 41. Fuentes de información en línea: http://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning https://www.facebook.com/licemata https://www.linkedin.com/in/licmata Twitter @licemata