Monografia Juciane Matemática 2011

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO - CAMPUS VII
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

JUCIANE DE JESUS ALEIXO

GEOMETRIA NAS SÉRIES INICIAIS: DIFICULDADES DE
APRENDIZAGEM DE ALUNOS E ALUNAS DO QUINTO ANO DA
ESCOLA MUNICIPAL DOUTOR JOSÉ GONCALVES EM
SENHOR DO BONFIM, BAHIA

SENHOR DO BONFIM
2011


GEOMETRIA NAS SÉRIES INICIAIS: DIFICULDADES DE
APRENDIZAGEM DE ALUNOS E ALUNAS DO QUINTO ANO DA
ESCOLA MUNICIPAL DOUTOR JOSÉ GONCALVES EM
SENHOR DO BONFIM, BAHIA

Monografia apresentada ao Departamento de
Educação da Universidade do Estado da
Bahia–UNEB/CAMPUS VII, como parte dos
requisitos para conclusão do Curso de
Licenciatura em Matemática.

Profa. MSc. MIRIAN FERREIRA DE BRITO
Orientadora

SENHOR DO BONFIM
2011

FOLHA DE APROVAÇÃO

GEOMETRIA NAS SÉRIES INICIAIS: DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM
DE ALUNOS E ALUNAS DO QUINTO ANO DA ESCOLA MUNICIPAL
DOUTOR JOSÉ GONCALVES EM SENHOR DO BONFIM, BAHIA


BANCA EXAMINADORA

Profa. Mirian Ferreira de Brito (Orientadora)__________________________
Universidade do Estado da Bahia - UNEB
Mestre em Educação e Contemporaneidade/UNEB

Profa. Tânia Maria Cardoso de Araújo_______________________________
Especialista em Matemática/UNICENTRO

Prof. Helder Luiz Amorim Barbosa__________________________________
Especialista em Metodologia da Matemática/UNEB

Prof. Ricardo José Rocha Amorim__________________________________
Universidade de Santiago de Compostela
Doutor em Eletrônica e Informática

Senhor do Bonfim, março 2011

Dedico este trabalho:
À minha família e amigos que sempre
estiveram comigo nesta trajetória,
me incentivando e apoiando
nos momentos mais difíceis.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por sua presença e luz em todos os momentos de minha vida;

Aos meus pais pelo incentivo em todo o desenvolvimento desta pesquisa;

Aos meus irmãos que, cada um ao seu modo, trouxe contribuições para alcançarmos
o sucesso desejado;

À professora Mirian Brito pela orientação, amizade, paciência, sugestões e
comentários que contribuíram para realização deste trabalho;

Aos meus colegas da Graduação pelos momentos e experiências partilhados;

Aos alunos e professores da Escola Municipal Dr. José Gonçalves pela colaboração
na aplicação das atividades desta pesquisa;

A todos, que direta ou indiretamente contribuíram para realização desta pesquisa.

“Espaço é o produto de uma interação
do organismo e do meio,
na qual não é possível dissociar a
organização do universo percebido
da atividade do próprio sujeito”. (PIAGET, 1993)
próprio (PIAGET, 1993)

RESUMO

A geometria tem um papel muito importante no ensino de matemática. Ela
fornece meios para resolução de problemas do dia a dia e leva a construção de
um pensamento lógico e criativo. No entanto, estudos comprovam que ela
ainda não é abordada eficazmente em sala de aula ou nem mesmo é abordada
em muitas escolas. Os alunos e alunas geralmente apresentam limitações em
relação a conceitos geométricos. As séries iniciais são, nesta perspectiva, as
mais afetadas com este problema uma vez que é comum professores e
professoras priorizarem conteúdos aritméticos ou excluírem estes conteúdos
por falta de embasamento teórico para ensiná-los. Este e outros motivos nos
instigaram a realizar estes estudos que tem por objetivo analisar o nível de
aprendizagem de conteúdos geométricos de alunos e alunas do quinto ano do
ensino fundamental, da Escola Municipal Doutor José Gonçalves no município
de Senhor do Bonfim, Bahia. Para isso, utilizamos como método científico a
pesquisa qualitativa, tendo como instrumentos para coleta de dados uma
atividade avaliativa, além da observação do espaço escolar. A atividade
avaliativa, composta por questões que buscavam levantar o perfil destas
crianças e por questões sobre conteúdos geométricos, tomou por base as
idéias do psicólogo Jean Piaget em relação ao desenvolvimento espacial da
criança e a Teoria de van Hiele que trata dos níveis de desenvolvimento do
pensamento geométrico. Esta atividade foi aplicada no mês de novembro de
2010 e como resultado constatamos que alunos e alunas encontraram
bastantes dificuldades na resolução de questões envolvendo geometria plana e
espacial. Estes alunos (as) demonstraram através de suas respostas que não
conhecem propriedades pertinentes a certas figuras, que não diferenciam uma
das outras e que não visualizam qualquer distinção entre figuras planas e não
planas.

Palavras-chave: conhecimentos geométricos; dificuldades em aprendizagem;
ensino fundamental, níveis de aprendizagem

ABSTRACT

The geometry has a very important role in mathematics teaching. It provides a
means for solving problems of everyday life and leads to building a creative and
logical thinking. However, studies show that it still is not addressed effectively in
the classroom or is not even addressed in many schools. Pupils and students
usually have limitations on geometric concepts. The early grades are in this
perspective, the most affected with this problem since it is common and women
teachers prioritize content arithmetic or delete such content for lack of
theoretical basis to teach them. This and other reasons have inspired us to
carry out those studies which aims to analyze the learning level of geometric
content for boys and girls in the fifth year of elementary school, the School of
Municipal Dr. Jose Gonçalves in the town of Senhor do Bonfim, Bahia. For this,
we use the scientific method as qualitative research, as instruments for data
collection an evaluation activity, and observation of school space. The
evaluation activity, consisting of questions seeking to raise the profile of these
children and questions about geometric content, was based on the ideas of
psychologist Jean Piaget in relation to spatial development of the child and the
theory of van Hiele levels of dealing with the development of thought geometric.
This activity was implemented in November 2010 and as a result we found that
male and female students encountered many difficulties in resolving issues
involving geometry and space. These students (as) have demonstrated through
their responses that do not know the relevant properties of certain figures,
which do not differ from each other and they do not see any distinction between
plane figures and not flat.

Keywords: geometric knowledge, difficulties in learning, primary education,
learning levels

SUMÁRIO

LISTA DE GRÁFICOS E LISTA DE IMAGENS.............................................09

NTRODUÇÃO.................................................................................................10

CAPÍTULO I: O Ensino de Geometria nas Séries Iniciais..............................11

1.2 Os PCN e o Ensino de Geometria do Segundo ao Quinto Ano................16

CAPÍTULO II: A Aprendizagem de Conceitos Geométricos...........................21

2.1 Piaget e o Ensino de conceitos espaciais.................................................22

2.2 A Teoria de van Hiele................................................................................28

CAPÍTULO III: A Pesquisa: Características e Instrumentos...........................33

3.2 Conhecendo os sujeitos da pesquisa........................................................34

CAPÍTULO IV: Análise e Interpretação dos Dados........................................37

CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................50

REFERÊNCIAS...............................................................................................53

APÊNDICE A..................................................................................................57

APÊNDICE B...................................................................................................58

9

LISTA DE GRÁFICOS E LISTA DE IMAGENS

Gráfico 1: Sexo dos alunos e alunas do quinto ano do Ensino Fundamental______37

Gráfico 2: Idade dos alunos e alunas do quinto ano do Ensino Fundamental______38

Gráfico 3: Tempo dos alunos do quinto ano do Ensino Fundamental na escola
Municipal Doutor José Gonçalves________________________________________39

Gráfico 4: Bairro em que residem os alunos e alunas da quinto ano do Ensino
Fundamental________________________________________________________40

Imagem 1: Questão 1 da Atividade Avaliativa aplicada aos alunos e alunas do quinto
ano da Escola Municipal Doutor José Gonçalves, no município de Senhor do Bonfim,
Bahia, no período de 08 a 12 de novembro de 2010__________________________41





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INTRODUÇÃO

Falar de ensino e aprendizagem em matemática não é uma tarefa fácil,
ainda mais quanto se trata de conteúdos geométricos que muitas vezes são
preteridos em relação às demais áreas de conhecimentos. A pouca preferência
tem aparentemente motivos convincentes e vários estudiosos listam, de acordo
com pesquisas que realizam os “motivos” pelos quais esta ausência acontece:
embasamento teórico insuficiente de professores e professoras para o ensino
dos conteúdos; dificuldades de alunos e alunos na aprendizagem destes
conhecimentos; pouca disponibilidade de recursos nas escolas para auxiliar o
professor (a); livros didáticos inadequados para o ensino de geometria; falta de
aulas específicas para geometria ou divisão das poucas aulas de matemática
com estes conteúdos; prioridade para conteúdos aritméticos e algébricos.
Seja por este ou aquele motivo, geralmente, o normal é verificar a
ausência de conteúdos geométricos nas escolas, ou verificar algumas
inclusões delas limitando-se a nomeação de figuras e exercícios de cálculos de
áreas ou coisas semelhantes.
Todas essas discussões fizeram parte do desenvolvimento de algumas
aulas de componentes curriculares do Curso de Licenciatura em Matemática
oferecido pela Universidade do Estado da Bahia, Campus VII, em Senhor do
Bonfim – Bahia, o que nos instigou a pesquisar mais sobre este assunto. Aliás,
este fato só fez aprofundar nossa curiosidade a cerca do ensino de geometria,
visto que nossa própria experiência enquanto estudante de escola pública já
trazia indagações e até certa decepção por não estudar conteúdos
geométricos.
Neste sentido, elaboramos o presente estudo. Precisávamos saber se
essa também era a realidade de alunos e alunas pertencentes a pequena
Escola onde fizemos nossos primeiros contatos com o conhecimento
sistematizado. Precisávamos deste modo, analisar o nível de aprendizagem de
conteúdos geométricos de alunos e alunas da Escola Municipal Doutor José
Gonçalves no município de Senhor do Bonfim, Bahia. Para tanto, apoiadas
numa abordagem qualitativa, aplicamos uma atividade avaliativa para duas
turmas do quinto ano do ensino fundamental desta Escola, no mês de

11

novembro de 2010. Esta atividade foi composta de duas partes distintas. Na
primeira delas buscamos informações gerais sobre os trinta e um alunos e
alunas que freqüentavam estas turmas: sexo, idade, período de ingresso na
Escola e bairro onde residem. Na segunda parte apresentamos questões sobre
conteúdos geométricos baseada na série focada e em autores de livros
didáticos.
Deste modo, distribuímos o presente estudo em quatro capítulos. O
Capítulo 1 descreve a importância da abordagem de geometria nas escolas,
em contraposição aos problemas encontrados especialmente nas séries iniciais
do ensino fundamental. O Capítulo 2 apresenta as relações do
desenvolvimento cognitivo da criança e a aprendizagem de conceitos
espaciais, baseado na Teoria de Jean Piaget. Mostra também a Teoria de van
Hiele, destacando os níveis de pensamento geométrico, bem como as fases de
aprendizagem deste modelo. No Capítulo 3 constam os procedimentos
metodológicos, descrevendo os instrumentos e técnica utilizada na elaboração
da presente pesquisa que tem como foco a abordagem qualitativa. No Capítulo
IV são analisados os dados obtidos procurando, neste momento, confronto com
o referencial teórico que auxiliou esta pesquisa. Por fim, nas considerações
finais, reiteramos os principais resultados encontrados e tecemos algumas
conjecturas a respeito de pesquisa realizada.

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CAPÍTULO 1: O ENSINO DE GEOMETRIA NAS SÉRIES INICIAIS

A Geometria está presente em diferentes áreas de nosso cotidiano, seja
nas construções, na natureza ou nos objetos que utilizamos. Por isso os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e estudiosos da área de Educação
Matemática orientam que a escola propicie aos discentes o acesso a esse
conhecimento visando à interação com o meio em que vivem.
(VASCONCELLOS, 2005).
Segundo os PCN:
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo
de Matemática, porque por meio deles o aluno desenvolve um tipo
especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever
e representar de forma organizada o mundo em que vive.
(BRASIL, 1997, p. 55)

Verdadeiramente, a riqueza da geometria torna-se um argumento
indiscutível para a sua presença no currículo e nas aulas de matemática. Sobre
a relevância do ensino de geometria Lorenzato (1995, p. 5) afirma que “sem
conhecer geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a
comunicação das idéias fica reduzida e a visão matemática torna-se
distorcida”. Este autor também afirma que é importante a abordagem da
geometria em nossas escolas, pois ela auxilia na solução de problemas do dia
a dia que, muitas vezes podem ser geometrizados e ainda contribui para que
as pessoas possam solucionar problemas envolvendo outras áreas do
conhecimento. Conforme os PCN (2002), a geometria auxilia no
desenvolvimento de habilidades de visualização, desenho, argumentação
lógica em soluções de problemas.
Além disso, os conceitos geométricos ajudam ao homem a compreender
a sua posição no espaço Terra, bem como ajudam na construção de
estratégias para resolver situações relacionadas à forma. (BRITO; SOUZA
FILHO, 2006). Sendo assim, podemos afirmar que esse conhecimento
desenvolve diversas habilidades no educando, trazendo inúmeros benefícios a
sua formação.
A geometria apresenta-se como uma importante ligação entre os
diferentes temas que envolvem a matemática. Segundo Lorenzato (1995, p. 6):

13

A geometria é mais eficiente conexão didático-pedagógica que a
matemática possui: ela se interliga com a Aritmética e com a
Álgebra porque os objetos e relações dela correspondem ao das
outras. Assim sendo conceitos, propriedades e questões
aritméticas ou algébricas podem ser clarificados pela geometria,
que realiza uma verdadeira tradução para o aprendiz.
(LORENZATO, 1995, p. 6).

No entanto, pesquisas mostram que, na prática há um insucesso
característico de muitas experiências de alunos e professores em relação aos
conteúdos geométricos tendo como conseqüência o abandono desse tópico
matemático na realidade escolar.
Uma das causas dessa situação preocupante são os reflexos trazidos
pelo Movimento de Matemática Moderna (MMM). Este movimento influenciou o
ensino de matemática no Brasil e em outros países nos anos 1960. Segundo
Silva (2005, p. 74), “o MMM buscava aproximar a matemática desenvolvida na
escola com a que era produzida pelos pesquisadores da área”, provocando
discussões e reformas do currículo de matemática da Educação Básica.
A partir daí, o simbolismo ganhou destaque, distanciando a matemática
da vida real e exigindo dos alunos grandes abstrações. “As propostas
defendidas enfatizavam as estruturas algébricas, a teoria dos conjuntos, a
topologia, as transformações entre outras”. (SILVA, 2005, p. 74). Assim para
Fulchs (1970) a Matemática Moderna, praticamente excluiu o ensino de
geometria, enfatizando uma terminologia excessiva.
Esse fato influenciou bastante à formação dos professores e professoras
de matemática, acarretando num obstáculo para a abordagem dos assuntos
geométricos.
Pirola (2000) realizou estudos envolvendo alunos de cursos de formação
de professores e os resultados mostraram que os sujeitos pesquisados têm
dificuldades na solução de problemas envolvendo geometria, bem como
declararam encontrar dificuldades na abordagem desses conteúdos em sala de
aula. Assim, segundo Silva (2006, p. 6), há:
[...] a necessidade de se repensar a formação inicial e continuada
dos profissionais que ensinam matemática, independentemente da
série em que atuam, como estratégia de enfrentamento aos
problemas relacionados ao ensino da Geometria na escola
brasileira.

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Deste modo, devido a pouca condição de ensinar geometria por muitos
professores e professoras, os conteúdos são transmitidos erroneamente de
forma desvinculada do contexto vivenciado ou nem são abordados estes
conteúdos. Segundo Brito e Souza Filho (2006), a geometria hoje é dada na
maioria das vezes mecanicamente através de aulas repetitivas e cansativas.
Isto provoca no aluno certo desinteresse pelo conhecimento, pois ele não
encontra um significado para a compreensão do conteúdo e conseqüentemente
não sente prazer em aprender geometria.
É necessário que o conteúdo geométrico apresentado aos alunos tenha
a maior variedade possível de situações contextualizadas, despertando seu
interesse e contribuindo para o seu desenvolvimento intelectual
(FAINGUELERNT, 1995). Ou seja, para aprender geometria é necessário
raciocinar sobre o que aprende, pois tudo que é apenas memorizado é
facilmente esquecido ou distorcido na memória. Já o que é compreendido e
conceitualizado poderão ser utilizados para solucionar problemas em outros
contextos. (NUNES, 1998). Nesse sentido, os PCN (1998) propõem para o
ensino de matemática, de modo geral, que o aluno desenvolva sua capacidade
de construir conceitos e procedimentos, levando-o a buscar soluções para
problemas e a perceber que a matemática é útil para a compreensão do dia a
dia e do mundo além de estimular a curiosidade, o pensamento lógico, à
criatividade e a capacidade de análise crítica.
Portanto,

O professor deve estar ciente que o aluno não é uma máquina de
pensar, arquivar na memória e, mecanicamente, seguir passos. Mas,
pode e deve desenvolver seu próprio raciocínio naturalmente e
adquirir habilidades para pensar com independência. [...] Assim, o
ensino da geometria deverá ser interativo e o aluno não poderá ficar
passivo, uma vez que o aluno constrói conhecimentos a partir do
mundo interior e assim, a geometria assume papel de verdadeiro
estabelecedor de estratégias pedagógicas. (SOUZA FILHO; BRITO
2006, p. 13).

Os problemas do ensino de geometria parecem ser ainda mais
complicados no que se refere às primeiras séries do ensino fundamental.
Fonseca (2002), afirma que os resultados das pesquisas não chegam aos
professores (as) desse nível de ensino e eles ignoram as proposições
inovadoras para o currículo de matemática no que tange ao eixo Espaço e

15

Forma. Pavanello (1989) afirma ser prática comum entre os professores de 1.ª
a 4.ª séries 1preocuparem-se somente com o estudo dos números e das
operações e deixarem de lado o trabalho com a geometria. Mesmo quando os
professores (as) abordam os conteúdos geométricos somente o fazem a partir
da nomenclatura das figuras geométricas simples. Para Smole (1996, apud
MENEZES; SANTANA, 2005), esse enfoque está relacionado à maneira como
o professor percebe a geometria. Ela é vista como uma organização de
conhecimentos formais, cuja estrutura não permite um tratamento além dos
limites de nomes das formas geométricas mais usuais.
Vasconcellos (2005) revela em pesquisa realizada em três escolas,
sendo duas públicas e uma particular, que os alunos da 4.ª série ainda
apresentavam limitações durante a realização das atividades propostas
principalmente em relação a diferenças entre figuras planas e não-planas.
Esses conceitos são necessários para o indivíduo já no início da vida escolar.
Fainguelernt (1995) destaca que a geometria ativa as estruturas mentais e
permite a passagem do estágio das operações concretas para o das operações
abstratas. Ao focar os aspectos topológico, projetivo e euclidiano, este ensino
possibilita a criança o conhecimento e a exploração do espaço através das
descobertas e da identificação das formas geométricas. Além do mais pode
contribuir para o desenvolvimento do pensamento crítico e autônomo.
Por isso, Nacarato (2001) ressalta a necessidade urgente de realização
de pesquisas no âmbito da sala de aula, que priorizem as interações e
intervenções pedagógicas, baseadas em teorias cognitivas de aprendizagem,
com a finalidade de produzir conhecimentos que envolvam os aspectos
teóricos e curriculares do ensino de geometria, principalmente nos dois
primeiros ciclos do ensino fundamental. Pois os conceitos adquiridos neste
período escolar servirão como base para as fases seguintes, favorecendo a
aprendizagem de definições e propriedades mais complexas.
Segundo Pavanello (1989, p. 182):
A geometria apresenta-se como um campo profícuo para o
desenvolvimento da capacidade de abstrair, generalizar, projetar,
transcender o que é imediatamente sensível [...] oferecendo

1
Deste a promulgação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB 9.394/96 as
séries iniciais do ensino fundamental receberam algumas designações a saber: 1.ª a 4.ª séries
do primeiro grau; 1.º e 2.º ciclos do ensino fundamental e segundo ao quinto ano do ensino
fundamental.

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condições para que níveis sucessivos de abstração possam ser
alcançados.

Assim, consideramos indispensável um ensino de geometria eficiente,
onde não só seja dado ao aluno e aluna o direito de ter esses conteúdos no
currículo escolar, mas também que a abordagem destes conhecimentos seja
realizada de maneira contextualizada fazendo com que os discentes adotem
suas próprias estratégias na construção do saber geométrico.

1.2 OS PCN E O ENSINO DE GEOMETRIA NO SEGUNDO AO QUINTO ANO

A instituição dos PCN no final da década de 1990 trouxe importantes
orientações de como ensinar os conteúdos matemáticos, ressaltando a
importância destes conhecimentos para a formação do pensamento e
indivíduo. Segundo os PCN (2001):

É importante que a matemática desempenhe, equilibrada e
indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades
intelectuais na estruturação do pensamento, na agilização do
raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas,
situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e
no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas
curriculares. (BRASIL, 2001, p. 25)

Esses documentos oficiais descrevem determinados princípios a fim de
melhorar o ensino de matemática nas escolas. Para os PCN, a matemática
precisa estar ao alcance de todos e a democratização do seu ensino deve ser
meta prioritária do trabalho docente. Deste modo, a atividade matemática
escolar não deve ser vista somente como coisas prontas e definitivas, mas
como a construção e apropriação de um conhecimento pelo aluno (a), e este
(a) se servirá dele para compreender e transformar a realidade. Assim a
aprendizagem em matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão
do significado.
Como parte do currículo de matemática a geometria também precisa se
ensinada de maneira efetiva e não apenas ser transmitida de modo estático e
totalmente sem sentido.

17

Para o ensino de geometria nas séries iniciais, os PCN (BRASIL, 1997)
indicam dois blocos chamados de Espaço e Forma e Grandezas e Medidas. De
modo geral é proposto que o trabalho com geometria deve ser feito a partir da
exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos,
esculturas e artesanato, pois permite aos alunos e alunas estabelecer
conexões com outras áreas do conhecimento, ou seja, propõem um conteúdo
que explore a percepção espacial insistindo na interpretação desse espaço e
na representação de posição e de movimentação nele.
Num primeiro momento o espaço se apresenta para a criança de modo
essencialmente prático, ou seja, ela constrói suas primeiras noções espaciais
por meio de sentidos e dos movimentos. Por isso que nessas experiências
estão baseadas as principais orientações dos PCN para o ensino de geometria.
Esses parâmetros defendem a idéia de trabalhar primeiramente com
figuras tridimensionais para depois trabalhar com figuras bidimensionais, pois:

O ponto, a reta, o quadrado não pertencem ao espaço perceptivo.
Podem ser concebidas de maneira ideal, mas rigorosamente não
fazem parte desse espaço sensível. Pode-se então dizer que a
geometria parte do mundo sensível e o estrutura no mundo
geométrico - dos volumes, das superfícies, das linhas e dos
pontos. (BRASIL, 1997, p. 81)

A passagem de um espaço a outro ocorre com a multiplicação das
experiências sobre os objetos por parte da criança. Ela aprenderá a construir
uma rede de conhecimentos relativos à localização, à orientação, que lhe
permitirá penetrar no domínio da representação dos objetos e, assim,
distanciar-se do espaço sensorial ou físico. É o aspecto experimental que
colocará em relação esses dois aspectos: o sensorial e o geométrico. De um
lado, a experimentação permite agir, antecipar, ver, explicar o que se passa no
espaço sensível e, de outro possibilita o trabalho sobre representações dos
objetos do espaço geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos
objetos reais para raciocinar sobre representações mentais. (BRASIL, 1997).
Assim, no segundo e terceiro ano, recomenda-se propor atividades para
que o aluno (aluna) seja estimulado a progredir na capacidade de estabelecer
pontos de referência em seu torno e a perceber as diferentes características
que englobam os objetos do espaço.

18

Em relação à localização, o trabalho pode ser feito a partir de atividades
em que o aluno se situe no espaço, desloque-se nele, compreenda e utilize
termos como esquerda, direita, giro, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao
lado, na frente, atrás, perto. (BRASIL, 1997). Outra forma rica de explorar esse
tema é a construção de itinerários a partir de instruções dadas. É interessante
que os alunos relatem oralmente como é o trajeto do lugar onde moram até a
escola, desenhem o itinerário que fazem, sempre dando ponto de referência.
Com relação às formas, os PCN (BRASIL, 1997) afirmam que o
pensamento geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização. Por
meio da observação e experimentação a criança começa a discernir as
características de uma figura e a usar propriedades para conceituar classes de
formas e perceber semelhanças e diferenças entre os objetos, identificando
assim, formas tridimensionais ou bidimensionais em situações que envolvam
descrições orais, construções e representações.
De acordo com os PCN (BRASIL, 1997) aprendizagem em geometria, no
segundo e terceiro ano, deve basear-se em experiências informais,
constituindo a base para um ensino mais formal. Recomenda-se, de modo
geral, que os conceitos matemáticos nas primeiras séries do ensino
fundamental sejam construídos a partir das experiências já vivenciadas pela
criança.

As crianças que ingressam no primeiro ciclo, tendo passado ou
não pela pré-escola, trazem consigo uma bagagem de noções
informais sobre numeração, medida, espaço e forma, construídas
em sua vivencia cotidiana. Essas noções matemáticas funcionarão
como elementos de referencia para o professor na organização
das formas de aprendizagem. (BRASIL, 1997, p. 45).

Além disso, o professor não deve classificar os conhecimentos em
campos numéricos e geométricos, mas sim trabalhar de forma interligada e
articulada, pois os alunos terão melhores condições de aprender o significado
dos diferentes conteúdos se conseguirem perceberem suas diferenças.
Nestas séries é importante que o aluno (a) adquira confiança em sua
própria capacidade para aprender matemática e explore um bom repertório de
problemas que lhe permita avançar no processo de formação de conceitos.
Muitos dos aspectos referentes os segundo e terceiro ano também
devem ser levados em consideração no quarto e quinto, principalmente à

19

importância do conhecimento prévio do aluno (a) como ponto de partida para a
aprendizagem.
Os avanços das capacidades cognitivas permitem considerar outros
aspectos. Os alunos e alunas começam a estabelecer relações de casualidade,
o que os estimula a buscarem a explicação das coisas (porquês) e as
finalidades (para que servem). Além disso, nessa fase, as crianças têm
possibilidades de maior concentração e capacidade verbal para expressar com
mais clareza suas idéias e pontos de vista. E partir de trocas de experiências
com seus colegas, eles deixam de ver seus pontos de vista como verdades
absolutas para enxergarem os pontos de vista dos outros, comparando aos
seus. Isto possibilita a análise e a comparação de diferentes estratégias de
solução. (BRASIL, 1997).
Os PCN, então, sugerem os seguintes conteúdos para o quarto e quinto
ano do ensino fundamental: o reconhecimento de semelhanças e diferenças
entre corpos redondos, como esfera, cone, cilindros, poliedros e identificação
de elementos como faces, vértices e arestas; a composição e decomposição
de figuras tridimensionais, identificando diferentes possibilidades bem como a
exploração das planificações de figuras tridimensionais.
Ainda de acordo com este documento, nestas séries o trabalho com
espaço deve levar o aluno a compreender enunciados, terminologias e técnicas
convencionais, sem, no entanto, deixar de valorizar e estimular suas hipóteses
e estratégias pessoais. O professor deve incentivar seus alunos a trabalharem
com representações do espaço, produzindo-as e interpretando-as. Com este
intuito ele pode utilizar diagramas, malhas, tabelas e exploração de guias e
mapas.
Quanto ás formas deve ser estimulado à observação de características
das figuras tridimensionais, permitindo aos alunos identificar propriedades e
estabelecer algumas classificações. Para isso, são recomendadas atividades
que possam contribuir para o desenvolvimento de estimativa visual. Isto pode
ser feito através de dobraduras, recortes, empilhamento, modelagem
construção de maquete com a descrição do que nela está representado, dentre
outras atividades.
Para o quarto e quinto ano, os PCN (BRASIL, 1997), reforçam as
características com atividades que permitam o aluno ou aluna a progredir na

20

construção de conceitos e procedimentos matemáticos. Estas séries não se
constituem num marco de terminalidade da aprendizagem desses conteúdos e
deverá permitir a continuidade adequada da aprendizagem para que o aluno
(a) alcance novos patamares de conhecimento.

21

CAPÍTULO 2: A APRENDIZAGEM DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS

Desde seu nascimento a criança interage com o mundo. Através dos
sentidos e de seus movimentos, ela explora e compreende o ambiente ao seu
redor e, antes mesmo de dominar a linguagem, conhece o espaço e as formas
presentes nele. (TOLEDO; TOLDEDO, 1997). São nessas vivências que elas
adquirem autonomia necessária para o seu desenvolvimento e aumentam sua
independência em relação aos cuidados dos adultos.
Chegando à escola, especialmente às séries inicias do ensino
fundamental, segundo SILVA (2006), constata-se uma mudança importante
nesse processo de experiências e construções espaciais. Ainda que a criança
continue sua compreensão espacial espontaneamente, surge um novo fato que
vai compor o anterior. A convivência intelectual da criança com conteúdos de
espaço e forma através das aulas de matemática será através de um processo
regular e sistemático, enquanto o primeiro era intuitivo e informal. Ou seja, é na
escola que a criança desenvolve noções espaciais em níveis mais estruturados
e complexos do que os trazidos anteriormente em sua vivência pré-escolar.
Apesar dessa mudança na maneira do desenvolvimento dos conceitos
espaciais, os conhecimentos adquiridos pela criança na sua vida diária não
podem ser deixados de lados. Muito pelo contrário, essas experiências práticas
que surgem do próprio desenvolvimento cognitivo infantil, são aliadas para a
construção dos conteúdos sistematizados encontrados na escola. Portanto, as
aulas devem envolver uma grande praticidade. Neste contexto, devem fazer
com que alunos e alunas participem ativamente do processo de ensino-
aprendizagem. Pavanello (1995), afirma que os conteúdos matemáticos nas
séries iniciais devem levar a uma aprendizagem natural dos conceitos através
da ação, pois isto é indispensável para a compreensão das relações
aritméticas ou geométricas.
Por isso é muito importante que o professor conheça bem os processos
de desenvolvimento intelectual da criança. Neste caso, a teoria de Piaget
apresenta uma contribuição de importância considerável. A teoria de
desenvolvimento cognitivo de Piaget pode ser de grande valia para entender
como os alunos pensam e assim cooperar para a prática docente.

22

2.1 PIAGET E O ENSINO DE CONCEITOS ESPACIAIS

O psicólogo Jean Piaget (1896-1980) publicou dezenas de livros e
centenas de artigos, preocupou-se com diferentes aspectos do conhecimento
enfatizando o estudo da natureza do desenvolvimento de todas as disciplinas e
toda história intelectual da humanidade, como também no desenvolvimento
intelectual da criança. Este estudioso procurou entender quais os mecanismos
mentais utilizados pelo sujeito nas diferentes etapas da vida para compreender
o mundo. Isto é, estudou cientificamente quais os processos que o indivíduo
usa para conhecer a realidade. Nesta teoria a criança tenta descobrir o sentido
do mundo lidando de modo ativo com objetos e pessoas. Assim ela vai
construindo estruturas mentais a partir de sua própria busca de entender o
mundo, compreender seus eventos e sistematizar suas idéias de forma
coerente (RAPPAPORT, 1981).
A teoria de Piaget concebe, ainda, o desenvolvimento intelectual como
um processo contínuo de trocas entre o organismo vivo e o meio, num
processo lento e gradual. Porém, as ações do sujeito nem sempre ocorrem em
harmonia com o ambiente e isso causa desequilíbrio o que obriga o sujeito a
buscar adaptação para restabelecer o equilíbrio (LUJAN, 1997).
Segundo Rappaport (1981, p. 62), “o equilíbrio é um processo de
organização das estruturas cognitivas num sistema coerente interdependente
que possibilita ao indivíduo um tipo ou outro de adaptação à realidade”. Esta
autora dá como exemplo de equilibração, a situação do bebê de poucos meses
de vida. Neste caso, a criança esta recebendo continuamente uma série de
impressões sensoriais sem nenhum significado para ela. Estando, portanto, em
desequilíbrio com esta realidade, dependendo de outras pessoas pra
sobreviver. A principal função do crescimento mental, neste período, consistirá
na organização destas impressões sensoriais, permitindo à criança a atuação
de forma coerente sobre a realidade.
No processo de adaptação, o indivíduo vai utilizar as estruturas mentais
já existentes ou quando estas estruturas não forem suficientes, elas serão
modificadas para se chegar a uma forma adequada de se lidar com a nova
situação. Assim, o processo de adaptação ainda possui mais dois processos

23

complementares chamados de assimilação e acomodação (RAPPAPORT,
1981).
A assimilação é o processo pelo qual o sujeito realiza tentativas para
solucionar uma determinada situação, utilizando uma estrutura mental já
formada. A acomodação é “a modificação de estruturas antigas com vistas à
solução de um novo problema de ajustamento a uma nova realidade”.
Assimilação e acomodação são processos diferentes, mas complementam-se e
“acham-se presentes durante toda a vida do indivíduo e permitem um estado
de adaptação intelectual”. (RAPPAPORT, 1981, p. 58).
Piaget analisou as estruturas operatórias da criança na aquisição dos
conceitos de espaço, trazendo grandes benefícios para o ensino de geometria.
Segundo Lujan (1997), as pesquisas de Piaget a respeito da percepção
e das representações espaciais são importantes para entender como são
desenvolvidos os conceitos de espaço bem como para possíveis aplicações
pedagógicas no ensino de geometria.
De acordo com Piaget (1937, apud LORENZATO, 2006, p. 41),

A percepção do espaço pela criança começa com a percepção de
objetos por meio da imagem visual; depois ela consegue pegar o que
vê e então seu espaço é ampliado; em seguida, ela consegue
deslocar-se por entre objetos e seu espaço é ampliado ainda mais,
pois nessa concepção de espaço, tanto ela como o objeto fazem
parte do ambiente espacial; e finalmente, a criança chega a perceber-
se como um objeto a mais no espaço.

Assim, a primeira relação de espaço que a criança estabelece é a
chamada topologia, posteriormente ela constrói as outras relações: a projetiva
e a euclidiana, respectivamente.
A topológica caracteriza-se pelas noções básicas de vizinhança,
contorno, ordem, separação, continuidade. Nesta fase, a criança reconhece
facilmente ou representam graficamente essas noções, quando conseguem
diferenciar figuras fechadas de figuras abertas ou espaço interior de espaço
exterior, quando identificam fronteiras e quando reconhecem posições do tipo
“está entre dois”. Mais tarde, surgem as noções de perto-longe e de dentro-
fora. Neste período topológico as crianças interpretam um polígono e um
círculo como representações de uma mesma figura, pois elas somente levam
em consideração o fato de a linha de contorno ser aberta ou fechada. Da
mesma maneira um poliedro, um elipsóide e uma esfera são interpretados

24

como “bola”. Portanto, a geometria nessa fase, não passa de uma geometria
do objeto observado. (LORENZATO, 2006).
O espaço projetivo começa quando o objeto passa a ser considerado
segundo o ponto de vista do sujeito. De acordo com Lorenzato (2006), nesta
interpretação espacial a criança percebe que algumas propriedades das formas
geométricas não se alteram, enquanto outras desaparecem. Por exemplo, a
proporcionalidade permanece inalterada, como no desenho de uma casa.
Neste desenho a criança facilmente tem a noção de proporção entre as
medidas reais colocando janelas e portas proporcionais ao tamanho da casa.
Já o paralelismo desaparece, para dar a idéia de profundidade quando, por
exemplo, a criança desenha trilhos de um trem.
Na fase euclidiana, a criança percebe que o espaço é constituído de
objetos e do próprio observador. Elas conseguem entender que ângulos,
distância e formas são conservados, mesmo quando as figuras estão ou foram
submetidos a movimentos. Assim, é possível introduzirmos a medição dos
entes geométricos, seguindo conceitos matemáticos e desconsiderando as
aparências das formas geométricas. (LORENZATO, 2006).
Quando a criança dominar essas operações formará uma representação
coerente do mundo tridimensional em que vive e onde se movimenta (LUJAN,
1997).
Para Lujan (1997, p. 28):

Muitas situações escolares vão requerer percepção espacial. Uma
criança que vê o espaço apenas numa perspectiva topológica não
consegue enxergar algumas pequenas diferenças em
determinados momentos. Uma criança sem conceitos espaciais
euclidianos não consegue estabelecer as diferenças entre as
letras b e d, p e q, necessárias para a aprendizagem da leitura e
da escrita. Em matemática, uma criança sem tais conceitos
dificilmente compreenderá o algoritmo das operações, o valor
posicional dos numerais, das seqüências, das medições.

Como vimos a construção dos conceitos espaciais, segundo Piaget,
obedece ao desenvolvimento de determinadas relações, podendo assim
orientar os professores na escolha de atividades de acordo com o perfil de
seus alunos.
Outra contribuição de Piaget, a este respeito, é a caracterização dos
estágios do desenvolvimento que definiremos a seguir.

25

O primeiro período é o Sensório-motor que se estende desde o
nascimento até o aparecimento da linguagem. “Nesse período a criança
conquista através da percepção e dos movimentos, todo o universo que a
cerca”. (BOCK; FURTADO; TEIXEIRA, 1999, p. 84). Inicialmente há uma
exploração tátil que começa pela sucção e preensão dos objetos. Depois a
criança já consegue pegar e manipular tais objetos. (RAPPAPORT, 1981).
Na fase sensório-motora a criança desenvolve a noção de espaço.
Assim, ela consegue uma maior coordenação de suas atividades, podendo
pegar um objeto que deixou cair, reiniciar uma atividade interrompida, antecipar
o deslocamento de um objeto escondido atrás de um móvel e diferenciar os
objetos que estão em sua volta dos que não estão. (GALVEZ, 2001).
Essa etapa caracteriza-se pelo egocentrismo do bebê, ou seja, não
existe nenhuma diferenciação entre o eu e o mundo exterior. As impressões
vividas não são relacionadas nem à consciência pessoal nem a objetos
concebidos como exteriores. (PIAGET, 1964). Nesse sentido a criança não é
capaz de considerar qualquer outro elemento que não o seu próprio corpo. Só
aos poucos ela vai tomando consciência de seu deslocamento no espaço.
(BRASIL, 1997).
Portanto, para Piajet (1964, p. 19):

[...] a consciência começa por um egocentrismo inconsciente e
integral até que os progressos da inteligência sensório-motora
levem à construção de um universo objetivo, onde o próprio corpo
aparece como elemento entre os outros e, ao qual se opõe a vida
interior, localizada neste corpo.

Essa capacidade de perceber o espaço de diferentes maneiras são
condições necessárias para a coordenação espacial que originará às noções
de direção, sentido, distância e outras essenciais à construção do pensamento
geométrico. (BRASIL, 1997).
A criança começa a aprender geometria já nesse período através das
coordenadas do seu próprio corpo. Segundo Piaget (1993), as noções
espaciais são intuídas antes mesmo do aparecimento da linguagem, pois os
significantes simbólicos visuais são da mesma natureza do seu significado. Por
exemplo, a imagem de um círculo é um círculo, contudo, nem sempre a criança
corresponde à palavra círculo pela forma geométrica representada. A

26

denominação é um conhecimento social ao qual o acesso é feito através da
informação.
Assim, num curto espaço de tempo deste período a criança passa de
uma atitude passiva em relação ao meio para uma atitude ativa e participativa.
(BOCK; FURTADO; TEIXEIRA, 1999).
Segundo Rappaport (1981, p. 76):

[...] embora a criança permaneça bastante egocêntrica,
autocentralizada em seu entendimento da realidade, já terá
realizado uma boa caminhada no sentido de conhecimento e
adaptação à realidade, embora permaneça bastante limitada em
suas possibilidades intelectuais. Terá conseguido atingir uma
forma de equilíbrio, isto é, terá desenvolvido recursos pessoais
para resolver uma série de situações através de uma inteligência
explícita, ou sensório-motora.

Ao final de 24 meses surge o período Pré-operacional. Neste período, o
aparecimento da linguagem é o acontecimento mais importante e irá modificar
os aspectos intelectuais, afetivo e social da criança. Além da interação entre os
indivíduos, a palavra desenvolverá a exteriorização da vida interior,
possibilitando também a correção de ações futuras. Portanto, a criança já pode
antecipar o que vai fazer. (BOCK; FURTADO; TEIXEIRA, 1999).
Além disso, a criança inicia a capacidade de representar uma coisa por
outra, ou seja, formar esquemas simbólicos.
Evidentemente o alcance do pensamento será maior, no entanto, a
criança continuará presa a determinadas ações de egocentrismo. Por causa da
ausência de esquemas conceituais o pensamento será caracterizado por uma
mistura de realidade com fantasia. A criança a nível comportamental, atua de
modo lógico e coerente, devido aos esquemas sensoriais-motores adquiridos
na fase anterior, enquanto em nível de entendimento da realidade está em
desequilíbrio. (RAPPAPORT, 1981).
A partir da ampliação do domínio do mundo, “o interesse da criança
pelas diferentes atividades e objetos se multiplica, diferenciam e regularizam,
isto é, tornam-se estáveis, sendo que, por meio desses interesses, surge uma
escala de valores própria da criança”. (RAPPAPORT, 1981, p. 86-87).
Nessa fase as relações de espaço são de origem topológica e o
desenho infantil leva em conta somente as ligações de vizinhança, separações,
envolvimento, fechamento, ignorando as relações métricas. Somente a partir

27

dos quatro anos de idade a criança consegue visualizar o desenho aproximado do
quadrado. (BONON, 1987). Ela também consegue reproduzir adequadamente a
figura de um círculo com um círculo menor dentro ou fora dele, ou ligado a ele.
Isto é possível em virtude da capacidade que a criança tem para distinguir figuras
fechadas e abertas, região interna e externa (LUJAN, 1997).
Já no final desse período, por volta de sete anos de idade, a criança
desenvolve as primeiras intuições projetivas. A partir daí a criança estará
pronta para iniciar o processo de aprendizagem sistemática. Isso ocorrerá no
estágio das operações concretas. Este período é caracterizado pelo ingresso
da criança na escola primária, ou séries iniciais, e pelas grandes aquisições
intelectuais.

O desenvolvimento mental caracterizado no período anterior pelo
egocentrismo intelectual e social é superado, neste período, pelo
inicio da construção lógica, isto é, a capacidade da criança de
estabelecer relações que permitam a coordenação de pontos de vista
diferentes. (BOCK; FURTADO; TEIXEIRA, 1999, p. 87).

Ainda nessa fase a criança torna-se capaz de diferenciar objetos pelo
gênero e pela diferença específica. Ocorre a coordenação entre compreensão
e extensão da classe, classificando os objetos, graças à apreensão de inclusão
por meio da transitividade. A criança reconstrói e ressignifica com o apoio da
ação sobre os objetos, apresentando curtos períodos de concentração e de
atenção para comunicados auditivos. (RAPPAPORT, 1981)
Em nível de pensamento, segundo Bock, Furtado e Teixeira (1999), a
criança consegue estabelecer corretamente as relações de causa e efeito de
meio e fim, sequenciar idéias ou eventos, trabalhar sob dois pontos de vista de
modo simultâneo e formar o conceito de número. Neste início, porém, a noção
de número está vinculada a uma correspondência com o objeto concreto.
Segundo Piaget (1990), no período operatório surge à intuição
propriamente geométrica diferente da intuição ingênua dos níveis anteriores. A
intuição geométrica é caracterizada pela reversibilidade inteira atingida pelo
pensamento. Este estágio refere-se à capacidade do indivíduo raciocinar sobre
o espaço interagindo harmonicamente quanto ao emprego das capacidades
sensível e operatório.
A diferença entre a intuição espacial ingênua do nível pré-operatório e a
intuição propriamente geométrica é que a primeira substitui o raciocínio ou pelo

28

menos determina, enquanto que a segunda acompanha simplesmente o
raciocínio operatório até onde pode, e fica subordinada a ele. (PIAGET, 1990).
A criança entre 8 e 9 anos de idade é capaz, através do desenho, de
antecipar a forma de um objeto, sendo que este será desenhado como visto
por um observador colocado à sua direita ou à sua frente.

A partir de 9 – 10 anos, os progressos são imensos a cerca do
desenho geométrico: a construção da reta vetorial (conservação de
direção), o grupo representativo dos deslocamentos, a medida,
semelhanças e proporções, o arremate de duas a três dimensões, e,
o traçado do nível horizontal e vertical por antecipação do
acontecimento (diferentes níveis de água devido à inclinação do
frasco e o desenho do mastro de um navio sobre estas inclinações).
(BONON, 1987, p. 37)

O ultimo período definido por Piaget é o das Operações Concretas. A
partir dos 12 anos de idade aparece o pensamento formal. Assim, o
adolescente realiza as operações no plano das idéias, sem a necessidade de
manipulação ou referências concretas como no período anterior. Há uma
progressão na capacidade de abstrair e generalizar, possibilitando ao indivíduo
criar teorias sobre o mundo, principalmente sobre aspectos que gostaria de
reformular (BOCK; FURTADO; TEIXEIRA, 1999).
Ao chegar nessa fase o indivíduo alcançará o padrão intelectual que
seguirá durante toda vida adulta. Isso não quer dizer que ocorra uma estagnação
das funções cognitivas a partir desse ápice. Rappaport (1981) enfatiza que esta
será a maneira predominante de raciocínio utilizada pelo adulto. Seu
desenvolvimento posterior consistirá numa ampliação de conhecimentos, mas
não na aquisição de novos modos de funcionamento mental.

2.2 A TEORIA DE VAN HIELE

Em 1957 dois holandeses, Dina van Hiele Geodolf e Pierre van Hiele,
criaram a partir de estudos para o programa de doutoramento, um modelo que
dividi a compreensão da aprendizagem geométrica em cinco níveis de
desenvolvimento. O casal van Hiele desenvolveu esses estudos a partir da
verificação de problemas na assimilação de conceitos detectados por seus

29

alunos em relação a conteúdos geométricos (INOUE, 2004; SANTANA;
MENEZES, 2005).
De acordo com van Hiele os alunos aprendem geometria por meio de
atividades adequadas a cada nível de pensamento. Se essas atividades
registram conteúdos considerados acima do raciocínio do aluno haverá
dificuldades da sua resolução. Esse modelo sofreu influências da Teoria de
Piaget a cerca das relações entre o avanço do pensamento geométrico e os
níveis de pensamento cognitivo, enfatizando a ação como ferramenta para a
construção do pensamento. No entanto, há duas diferenças básicas que
distinguem estas teorias. A primeira refere-se à maneira como van Hiele
enfatizou sua pesquisa. Nela os van Hiele se preocuparam restritamente com a
aprendizagem a nível escolar, enquanto Piaget preocupava-se com o
desenvolvimento humano como um todo. (INOUE, 2004). A outra diferença
está relacionada ao fato de que para os van Hiele o avanço nos níveis de
pensamento não ocorre de acordo com a progressão da idade do indivíduo.
Pierre van Hiele formulou esquemas e princípios psicológicos e Dina
tratou da verificação de experiências didáticas. Como Dina faleceu após o
término da tese de doutorado ficou para Pierre a incumbência de aperfeiçoar e
esclarecer todas as fases e propriedades do modelo (INOUE, 2004).
O modelo de van Hiele apresenta cinco níveis de pensamento. O avanço
de um nível para o outro ocorre através do sequenciamento de atividades
adequadas selecionadas pelo professor, obedecendo ao nível de pensamento
que se encontra o aluno. O aprendiz só atinge um determinado nível de
compreensão após ter vivenciado os níveis anteriores. (KALEFF; HENRIQUES;
REI;& FIGUEIREDO, 1994)
Assim, a aprendizagem de conceitos geométricos inicia-se de maneira
mais global e depois passa para um pensamento analítico, chegando a uma
dedução matemática com mais rigor. (PURIFICAÇÃO, 1999).
O primeiro nível, o básico, é o do reconhecimento ou da visualização.
Nesta etapa os alunos reconhecem as figuras através de suas aparências
físicas, mais ainda não têm condições suficientes para analisar as propriedades
ou partes dessas figuras. Ou seja, ainda não conseguem conceituar essas
figuras. (INOUE, 2004). Também não são capazes de generalizar
características entre figuras da mesma classe. “Assim, ocorre a descrição dos

30

aspectos físicos das figuras, diferenciando-as pelas semelhanças ou diferenças
globais”. (INOUE, 2004, p. 65).
O nível 2 é denominado de descritivo ou de análise. O aprendiz, nesta
fase, consegue analisar os componentes das figuras, portanto, é a etapa do
reconhecimento das propriedades e utilização delas para resolver problemas.
(INOUE, 2004). Os alunos visualizam as figuras geométricas de outro modo,
conseguindo perceber determinadas propriedades e enunciá-las, sempre de
maneira informal. Elas conseguem, por exemplo, identificar que o retângulo é
um quadrilátero com quatro ângulos retos, com lados opostos de iguais
comprimentos. No entanto, ainda não realizam a inclusão de classes, ou seja,
não estabelecem relações entre figuras. (INOUE, 2004).
Essa capacidade aparece no nível 3, dedução informal ou ordenação,
quando os educandos formam as definições, podendo reconhecer que uma
propriedade pode ser deduzida de outra. (INOUE, 2004). Por exemplo, eles
conseguem “enxergar” que um quadrado é um retângulo, pois ele possui todas
as propriedades do retângulo.
“A nova habilidade mental capacita o aluno a elaborar definições
matematicamente corretas, sem redundâncias, como ocorria no nível 2, através
de exaustiva lista de propriedades”. (INOUE, 2004, p. 67).
Chegando ao nível 4 (lógico formal ou dedução formal), essa
habilidade é desenvolvida ainda mais, pois antes os alunos não eram capazes
de construir uma prova a partir de informações diferentes e agora poderão
entender o papel de indefinidos elementos, axiomas, postulados, teoremas e
demonstrações. (INOUE, 2004). Eles não somente memorizam as provas, mas
percebem a possibilidade de desenvolver uma prova de diferentes maneiras.
(LUJAN, 1997).
O último nível é o da regra lógica ou rigor. Nele os aprendizes avaliam
vários sistemas dedutivos, conseguem compreender a abstração geométrica
não-euclidiana e desenvolvendo relações mais complexas. (INOUE, 2004).
Além da sequência dos níveis para o desenvolvimento do pensamento
geométrico, o modelo van Hiele também apresenta cinco fases de
aprendizagem em geometria.

31

Essas fases de aprendizagem visam auxiliar o professor na elaboração
de atividades que facilitem o avanço entre os níveis de pensamento citados
anteriormente. Inoue (2004) define assim essas fases:

Fase 1: Interrogação/informação – é a etapa de preparação para as fases
seguintes. Os van Hiele sugerem que seja estabelecido um diálogo entre aluno
e professor, quando então serão realizadas observações e questionamentos
sobre a atividade a ser desenvolvida e o vocabulário específico do nível é
introduzido. Nesta etapa o professor perceberá quais são os conhecimentos
trazidos pelos alunos sobre o assunto e colocará o material didático à
disposição do aprendiz para que através dessa manipulação, o aluno
desenvolva o trabalho matemático propriamente dito.

Fase 2: Orientação dirigida – a partir do material que foi dado anteriormente, o
aluno irá explorar o assunto de estudo. As atividades oferecidas pelo professor
deverão ser de uma só etapa e objetivar a descoberta, a compreensão e a
aprendizagem dos conceitos. “Nesta fase serão construídos os elementos da
rede de relações do nível superior de pensamento” (INOUE, 2004, p. 70).

Fase 3: Explicitação – a função do professor nesta etapa e orientar o aluno nas
atividades desenvolvidas na fase anterior. Os alunos devem usar o vocabulário de
modo mais refinado e “iniciar o uso correto das expressões teóricas e desenvolver
a capacidade de se expressar através das palavras”. (REZI, 2001, p. 14).

Fase 4: Orientação livre – as tarefas apresentadas deverão possuir várias
maneiras de serem resolvidas, ou seja, mais complexas, o que permitirá ao
aluno iniciar um modo individual de entender e expressar relações entre os
objetos corretamente.

Fase 5: Integração – no final da exploração do conteúdo, surgirá a capacidade
de observar todos os conceitos e relações como um todo. Portanto, há uma
unificação do que foi estudado.

Ao término da integração, os alunos alcançam um novo nível de
pensamento estando aptos a repetir as fases de aprendizagem no próximo
nível. (KALEFF ET AL, 1994).

32

Desse modo, entendemos a grande importância da Teoria Piagetiana,
bem como da Teoria de van Hiele para a aprendizagem de geometria. Esses
estudos mostram como é desenvolvido o pensamento geométrico e como os
sujeitos progridem em suas intuições espaciais, fornecendo assim, informações
para que o professor (a) possa adotar em sua prática pedagógica estratégias
que possibilitem um avanço no conhecimento geométrico de seus aprendizes.

33

CAPÍTULO 3: A PESQUISA: CARACTERÌSTICAS E INSTRUMENTOS

Para desvendarmos qualquer problema de pesquisa precisamos de uma
forma de realizá-lo, ou seja, é necessário um método. Lakatos e Marconi
(2001) definem método como um conjunto de atividades que determinam a
melhor maneira de atingir o objetivo pretendido, ajudando a trilhar o caminho
traçado, detectando possíveis erros e auxiliando na tomada de decisões do
pesquisador.
Existem várias maneiras de compreender um mesmo fenômeno. O
pesquisador tem a tarefa de analisar amplamente e criticamente a realidade
com o objetivo de que sejam considerados os aspectos relevantes como a
cultura, as crenças e os valores que os sujeitos e também o pesquisador
possuem. (GATTI, 2002).
Assim, procuramos neste estudo um método cientifico que mostre a
realidade, trazendo explicações satisfatórias que favoreça a aquisição de
conhecimento pelo grupo envolvido no processo. Neste sentido, os objetivos
desta pesquisa levaram-nos a uma abordagem qualitativa.
A pesquisa qualitativa tem como características principais a
centralização do pesquisador nas circunstâncias e contexto da pesquisa,
considerando os sentidos e emoções; reconhecimento dos sujeitos estudados
como produtores de seus conhecimentos; consideração dos resultados como
consequência de um trabalho coletivo entre pesquisador e pesquisados.
(LUDKE; ANDRE, 1986).
Este tipo de investigação não somente enumera ou mede eventos como
na pesquisa quantitativa, mas ultrapassa, uma vez que possui caráter
exploratório, descritivo e indutivo. Por isso utiliza técnicas como análise de
dados secundários, estudo de caso e entrevistas individuais, e ainda, possui o
ambiente natural como fonte direta de dados e o pesquisador como
instrumento fundamental. (GODOY, 1995).
Em linhas gerais, a pesquisa qualitativa é composta da obtenção de
dados descritivos através da interação entre a situação pesquisada e
pesquisador, procurando entender os fenômenos mediante a perspectiva dos

34

participantes do estudo para depois estabelecer a interpretação dos fenômenos
pesquisados. (NEVES, 1996).
Considerando essas afirmações, acreditamos que o método qualitativo
dará melhor suporte a este trabalho, pois ele possibilita a compreensão do
contexto onde os alunos participantes da pesquisa estão inseridos, facilitando a
identificação de suas possíveis dificuldades em aprender conteúdos de
geometria.

3.2 CONHECENDO OS SUJEITOS DA PESQUISA

Para realizar este estudo existiriam várias opções de estabelecimentos
de ensino neste município de Senhor do Bonfim, Bahia. Contudo, optamos pela
Escola Municipal Doutor José Gonçalves para analisar o nível de
aprendizagem de conteúdos geométricos de alunos e alunas do quinto ano do
ensino fundamental.
Esta Escola além de atender às crianças do bairro onde está situado,
Casas Populares, também recebe alunos de bairros próximos como Barbosa
Santos e Alto da Rainha que são comunidades carentes da cidade. Outro
motivo para tal escolha é o fato de ser ex-aluna desta escola, onde cursamos
as 3.ª e 4.ª séries do ensino fundamental, e sentimos o desejo de contribuir,
através desta pesquisa, para a valorização do ensino de geometria naquela
realidade escolar.
A escola municipal Doutor José Gonçalves foi fundada no dia 14 de
junho de 1971, um ano antes da inauguração do Conjunto Residencial que deu
origem ao bairro das Casas Populares.
Atualmente esta escola oferece à comunidade todas as séries do ensino
fundamental (segundo ao nono ano) nos turnos matutino e vespertino e no
noturno oferece o projeto EJA (Educação para Jovens e Adultos), totalizando
410 alunos e alunas matriculados.
O quadro de professores e professoras compreende vinte (20)
profissionais, dentre os quais possuem nível superior todos os que lecionam do
sexto ao nono ano do ensino fundamental. Para o ensino do segundo ao quinto
ano do ensino fundamental apenas a metade deles possui graduação.

35

O espaço físico da escola abrange oito salas de aulas, um laboratório de
informática, uma sala de vídeo, uma sala da direção, uma sala de professores,
uma secretaria, sala de recursos didáticos como retroprojetor, duas áreas de
pátio e três banheiros.
Nesta escola é adotada a proposta político-pedagógica implantada pela
Secretaria de Educação do Estado da Bahia. De acordo com a proposta, as
séries iniciais estão divididas em Ciclos Básicos de Aprendizagem (CBA). No
ano de 2010 funcionaram turmas abrangendo o primeiro bloco do CBA que são
o Ciclo Básico de Aprendizagem Inicial (CBAI), formado por alunos e alunas
vindos da pré-escola, ou seja, antiga primeira série e o Ciclo Básico de
Aprendizagem Sequencial (CBAS) que engloba os alunos e alunas oriundos do
CBAI, substituindo assim a segunda série tradicional. (CRUZ, 2002).
A pouca procura por vagas naquele ano, levou à escola a construir uma
única turma para alunos (as) ingressantes no CBAI e CBAS. Havia também
naquele ano, duas turmas para o quarto ano e uma para o quinto ano do
ensino fundamental. Isto no turno vespertino, pois no matutino formou-se
apenas uma única turma nas séries iniciais, o quinto ano.
Convidamos para fazer parte desta pesquisa às duas turmas do quinto
ano e destas, trinta e um (31) discentes, sendo quatorze (14) alunos (as) do
turno matutino e dezessete (17) alunos (as) do turno vespertino. A escolha
destas turmas deve-se ao fato destes alunos (as) já terem vivenciado nas
séries antecedentes, experiência envolvendo a geometria.
Para obtenção dos dados, primeiramente entramos em contato com a
diretoria da escola e expusemos nossos objetivos e os métodos para
realização da nossa pesquisa. Na etapa seguinte, expusemos os objetivos para
os professores (as) e alunos (as) das turmas, bem como os seus pais e/ou
responsáveis, os quais autorizaram os procedimentos da pesquisa mediante
Termo de Consentimento (Apêndice A).
Depois de cumprir esta primeira etapa, passamos para a fase de
observação, objetivando, além de entender o funcionamento da escola,
estreitar a relação entre pesquisados e pesquisadora. Segundo André e Lüdke
(1986, p. 26):

36

A observação possibilita um contato pessoal e estreito do
pesquisador com o fenômeno pesquisado, o que apresenta uma série
de vantagens. Em primeiro lugar, a experiência direta é sem dúvida o
melhor teste de verificação da ocorrência de um determinado
fenômeno.

A Atividade aplicada, então, foi dividida em duas partes. A primeira
consta de uma entrevista, que buscava saber qual o sexo, a idade dos alunos e
alunas. Procuramos também saber se os alunos e alunas estudavam na escola
desde a primeira série e, ainda, o bairro onde residiam. A segunda parte é
composta de cinco questões avaliativas envolvendo conteúdos geométricos.
Destas questões, as três primeiras envolviam o reconhecimento de
propriedades das figuras planas e as duas restantes, figuras não-planas.

37

CAPÍTULO 4: ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS
:

Após o recolhimento e registro dos dados coletados iniciamos a
discussão e análise da atividade avaliativa aplicada. Para tanto, utilizamos
como suporte teórico trabalhos de estudiosos da área e nossa própria vivência
enquanto aluna do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do
na
Estado da Bahia – UNEB, no município de Senhor do Bonfim, Bahia, e ainda,
as informações coletadas nas observações realizadas durante o período que
envolveu a pesquisa.
A atividade avaliativa proposta para os trinta e um alunos e alunas do
proposta
quinto ano da Escola Municipal Doutor José Gonçalves consistia em duas
consistia
partes (Apêndice B). Na primeira delas pretendíamos compor um breve perfil
).
destes estudantes. Na segunda parte tencionamos fazer um levantam
. levantamento dos
conhecimentos que os alunos e alunas das turmas pesquisadas apresentavam
d
em relação a geometria através de questões que envolviam a geometria plana
e espacial.
Como parte do perfil, perguntamos inicialmente, qual o sexo destes
alunos e alunos, a idade e qual o tempo de estudo nesta Escola. Estas
dade
questões estão detalhadas nos Gráficos 1 e 2 abaixo.

Gráfico 1: Sexo dos alunos e alunas do quinto ano do Ensino
Fundamental
Turno Matutino Turno Vespertino

50% 50% 53% 47%

masculino feminino masculino feminino

Fonte: Pesquisa realizada na Escola Municipal Dr. José Gonçalves
no mês de novembro de 2010

A Escola Municipal Doutor José Gonçalves, diferentemente de outras
escolas do município mantém uma quantidade reduzida de alunos e alunas

38

regularmente matriculados. No ano de 2010 a Escola tinha 132 alunos (as)
N
matriculados nas séries iniciais do ensino fundamental, sendo que nas turmas
fundamental,
pesquisadas, a sala do matutino apresentava igualdade em sexo e a turma do
vespertino apresentava uma diferença de três a mais para o sexo feminino.
Em relação à idade dos alunos e alunas verificamos que o grupo é
verificamos
relativamente diversificado. O Gráfico 2 a seguir mostra a distribuição dos
alunos (as) nos dois turnos em que a pesquisa foi realizada.

Gráfico 2: Idade dos alunos e alunas do quinto ano do Ensino
Fundamental

10
8
6
até 11 anos
4
acima 11 anos
2
0
matutino vespertino

realizada

Podemos observar no Gráfico que no turno matutino havia tanto alunos
na faixa etária adequada para esta etapa de escolarização, tanto quanto não
adequados, ou seja, 50% de alunos (as) além da faixa etária normalmente
encontrada nesta série. Já no turno vespertino, esta equivalência não se
.
verifica. Apesar disto, observamos que o número total de alunos fora da faixa
desejada de idade para esta série é bastante significativa.
Em conversa com os professores (as) pudemos constatar que os alunos e
alunas mais velhos têm mais dificuldades em assimilar os conteúdos do que os
m
demais. Os PCN (BRASIL, 1998) ressaltam que a defasagem idade-série requer
BRASIL, série
maior esforço por parte dos professores (as) na escolha de como ensinar pois é
profe ensinar,
preciso adequar o trabalho às diferentes realidades destes alunos (as).
de
Na questão seguinte, perguntamos se o aluno ou aluna estudava nessa
mesma Escola desde a 1.ª série. Através desta pergunta tencionávamos
verificar as dificuldades de conteúdos geométricos destes alunos e alunas além
da série pesquisada. Nosso foco maior era a 4.ª, porém necessitávamos

39

também investigar as dificuldades dos alunos desta Escola em relação à
geometria de modo geral, e especialmente verificar se este fato tinha ou não
especialmente
alguma influência nos resultados obtidos com a atividade avaliativa. O gráfico a
seguir mostra o tempo na Escola desses educandos nos dois turnos
scola
pesquisados.

Gráfico 3: Tempo dos alunos do quinto ano do Ensino Fundamental
na escola Municipal Doutor José Gonçalves

Turno Matutino Turno Vespertino
Primeira série
Primeira série
Segunda série
Segunda série
Terceira série Terceira série
Quarta série Quarta série

onte:

De acordo com o gráfico, podemos observar que no turno matutino, três
alunos (as) estão na Escola desde a primeira série, dois desde a terceira série
e um (a) ingressou na Escola na quarta série. Observamos então, que a
maioria dos alunos (as) está nessa mesma Escola desta a segunda série (oito).
mesma
Para o turno vespertino registramos três alunos (as) que ingressaram na
Escola na primeira série, quatro ingressaram na segunda série e três na quarta
série. Registramos assim, que sete alunos (as), ou seja, a maioria, ingressou
maioria,
nesta Escola na terceira série.
Na questão seguinte, quarta, questionamos se a moradia dos alunos e
alunas era a no mesmo bairro que se localiza a Escola.
A Escola está localizada no centro do bairro considerado como um dos
bairros mais estruturados do município, Casas Populares, que está em
truturados
processo de expansão, oferecendo aos seus moradores diversos serviços. O
mesmo dispõe de Quadra Poliesportiva, supermercados, farmácia, lanchonete,
consultório odontológico dentre outros, e desde o ano de 2005 já possui sua

40

própria feira livre, a “Feirinha” como é chamada pela população que ali reside,
comercializando frutas e verduras com funcionamento todas as sextas
sextas-feiras. O
bairro também tem uma empresa de transporte coletivo regular.
No quesito instituições de ensino, o bairro possui além da Escola
stituições
pesquisada, outra escola municipal e mais duas escolas de educação infantil
que são particulares. Ainda possui uma instituição criada por uma igreja
evangélica, mas que atualmente é mantida pelo governo municipal e atende a
crianças de idade pré-escolar. Assim como em outros bairros, este ainda não
escolar.
possui escolas de ensino médio, sejam públicas ou particulares, impulsionando
o deslocamento dos estudantes para o centro da cidade.
Deste modo, em resposta ao questionário elaboramos o Gráfico 3 a
m
seguir com o resumo das informações.

Gráfico 4: Bairro em que residem os alunos e alunas da quinto ano do
Ensino Fundamental

6 Casas Populares
Barbosa Santos
4 Alto da Rainha
Outros
2

0
Matutino Vespertino


Aproximadamente metade dos alunos e alunas mora no mesmo bairro
em que funciona a escola, outros residem em bairros adjacentes e que são
considerados de baixa renda, Alto da Rainha e Barbosa Santos, e o restante
moram em bairros como Bosque, Gamboa e Novo Horizonte.
A constatação de que existe um número considerável de alunos (
(a)
moradores de áreas pobres próximas ao bairro nos faz voltar à segunda
questão para entender a possível causa da grande porcentagem da defasagem
idade/série. O nível de pobreza do indivíduo pode influenciar no seu
pobreza
desempenho em sala de aula. Os PCN (BRASIL, 1998) afirmam que os lugares
aula
onde é pouca a concentração de renda apresentam os maiores resultados em

41

relação ao aproveitamento escolar e neles também são grandes os níveis de
repetência e evasão.
Na segunda parte da pesquisa construímos uma atividade avaliativa
composta de cinco questões sobre conteúdos geométricos. Com estas questões
buscávamos saber se os alunos e alunas pesquisados apresentavam
deficiências ou não em relação à nomeação e algumas propriedades das figuras
planas e se conheciam alguns dos sólidos geométricos. Tais questionamentos
abordam conceitos geométricos já vivenciados pelos alunos (as) na escola nas
séries anteriores. De acordo com os PCN (BRASIL, 1997) os conteúdos
geométricos destinados as séries iniciais como citamos no Capítulo 1 são, em
resumo, os seguintes: construção e representação de formas geométricas; o
reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos, como
esfera, cone, cilindros, poliedros (como os prismas, as pirâmides e outros); e
identificação de elementos como faces, vértices e arestas; a composição e
decomposição de figuras tridimensionais, identificando diferentes possibilidades
bem como a exploração das planificações de figuras tridimensionais.
As questões utilizadas na atividade avaliativa foram adaptadas dos livros
do quinto ano de matemática dos autores Claudio Marques e Enio Silveira
(1995), José Ruy Giovanni e José Ruy Giovanni Junior (2000) e Mafalda
Martins Andrade (1996) publicados pelas editoras: Moderna, FTD e IBEP,
respectivamente.
A primeira das questões trazia cinco figuras geométricas planas e
solicitava que o aluno (a) assinalasse qual ou quais delas eram representações
de triângulos, conforme podemos observar abaixo.

Imagem 1: Questão 1 da Atividade Avaliativa aplicada aos alunos e alunas do
quinto ano da Escola Municipal Doutor José Gonçalves, no município de Senhor
do Bonfim, Bahia, no período de 08 a 12 de novembro de 2010

a) b) c) d) e)

Fonte: Marques e Silveira, Matemática 4.ª série, 1995, p. 203 (adaptação)

42

Nosso intuito com esta questão era verificar se os alunos reconheciam
os triângulos independentemente de sua classificação: eqüilátero, isósceles ou
escaleno.
Para esta questão, as respostas obtidas foram bastante variadas. Do
total de quatorze alunos (as) do turno matutino somente cinco marcaram
corretamente todas as alternativas que apresentavam a figura do triângulo.
Outros dois não reconheceram a representação da figura c. Observamos
também que quatro visualizaram a alternativa b como correta e apenas um
reconheceu a alternativa e. Outros dois acertaram as opções b e e, mas
erraram ao apontar a primeira figura (a) como sendo um triângulo.
O turno vespertino apresentou, para a mesma questão, resultados ainda
mais deficientes. Somente um (a) estudante acertou a questão. A grande
maioria, 13 alunos, assinalou somente a alternativa b e três marcaram as
opções b e e como corretas. Assim, percebemos que esses alunos e alunas
apresentam dificuldades em compreender o conceito de triângulo.
Numa pesquisa realizada em três escolas públicas de Maringá (PR),
com a participação de 180 alunos da 2.ª, 3.ª e 4.ª séries do ensino fundamental
e os professores desses alunos, Pavanello (2004) mostra que esses indivíduos
(alunos e professores) sabiam a definição de triângulo, mas não compreendiam
o significado. “Reconheciam como triângulos apenas os eqüiláteros e os
isósceles, que são os em geral apresentados na maioria dos livros didáticos,
mas não os escalenos”. (PAVANELLO, 2004, p. 133).
A segunda questão, similar a primeira, solicitava que os alunos e alunas
identificassem as figuras que representavam retângulos.

Imagem 2: Questão 2 da Atividade Avaliativa aplicada aos alunos e alunas
do quinto ano da Escola Municipal Doutor José Gonçalves, no município de
Senhor do Bonfim, Bahia, no período de 08 a 12 de novembro de 2010

a) b) c) d) e)

Fonte: Marques e Silveira, Matemática 4.ª série, 1995, p. 205 (adaptação)

43

Para esta questão cinco dos (as) alunos (as) do turno matutino
identificaram corretamente a resposta (a e d), quatro marcaram somente a
alternativa a e dois a alternativa d. Apenas três dos quatorze alunos (as)
erraram completamente a questão assinalando o triângulo e o trapézio.
Nesta questão, os alunos do vespertino apresentaram um melhor
resultado, em comparação aos resultados da questão anterior. Desta vez nove
alunos (as) registraram corretamente a resposta, ou seja, mais da metade
deles foram capazes de reconhecer as propriedades do retângulo marcando a
representação menos usual dessa figura. O restante aparenta desconhecer
que um retângulo possui quatro ângulos retos e se apegam somente as
características dos quatro lados. Percebemos isso ao notar que eles marcaram
o losango (figura c) como resposta. Outros nem ao menos reconheceram o
retângulo por sua aparência global, ou seja, não identificaram o retângulo
confundindo-o com um triângulo.
Deste modo, observamos que os alunos só reconheceram a
representação das figuras geométricas comumente apresentadas e
trabalhadas pela maior parte dos professores e professoras destas séries do
ensino fundamental.
Vários estudiosos verificam esse problema. De acordo com Pavanello
(1989), em sua pesquisa de mestrado, os professores não abordam nas séries
iniciais as propriedades das figuras e somente fazem a nomeação das mais
simples. A pesquisa foi gerada a partir da constatação dessa autora, como
profissional de educação, de que os alunos dos 1.º e 2.º grau demonstravam
cada vez menos conhecimento geométrico.
Os estudos de Bertonha (1989) também trazem algumas considerações
sobre esse assunto. Esta autora afirma que os alunos se confundem quando
lhes são apresentadas figuras em posição diferente das usuais e excluem
atributos importantes delas, utilizando somente a aparência para identificar as
formas geométricas.
A terceira questão tinha o mesmo intuito das anteriores, ou seja,
pretendia verificar se os alunos identificariam determinadas figuras planas. Mas
desta vez queríamos que eles também as nomeassem. Para isso,
apresentamos a imagem da bandeira do Brasil (Imagem 3) para que eles
escrevessem o nome das figuras geométricas que a compõem.

44


Fonte: Martins, Viajando com os números. 4ª série, 1996, p. 95 (adaptação)

No turno matutino somente um aluno (a) nomeou corretamente as três
figuras. Quatro deles deixaram a questão em branco. Três nomearam o
retângulo corretamente e cinco o chamaram de quadrado. Um aluno (a) não
soube nomear o retângulo e somente escreveu “a parte verde”. Percebemos
que ele (a) não reconheceu o losango e o círculo como figuras geométricas.
Somente três alunos (as) arriscaram a nomear o losango, sendo que nenhum
fez isso corretamente. Chamou-o de triângulo. Dois alunos (as) nomearam
corretamente o círculo. Um (a) o chamou de esfera, confundindo-o com uma
figura espacial e outro aluno (a) fez referência a aparência física desta figura,
escrevendo “redondo” ao invés da palavra correta. Assim, notamos que ele
(ela) sabe que aquela representação é uma figura geométrica, mas não sabe
como nomeá-lo. O restante não escreveu nada que sugerisse a identificação
do círculo.
No turno vespertino registramos um (a) único aluno (a), entre os
dezessete, que conseguiu nomear as três figuras representadas na imagem da
bandeira brasileira. Dos dezesseis restantes, a grande maioria, treze no total,
usou a palavra quadrado para identificar o retângulo. Com isto, entendemos
que eles e elas não atentam que embora as propriedades do retângulo também
o sejam do quadrado, a recíproca não é verdadeira. Os outros (as) três
acertaram o nome da figura em questão. Houve dois alunos (as) que fizeram
somente a classificação do losango como quadrilátero, mas não sabiam o
nome dessa figura. Ou seja, eles sabem que esta figura possui quatro lados,
mas não conhecem as características específicas que o diferencia dos outros
quadriláteros. Outros dois estudantes o chamaram de triângulo, mostrando que

45

não sabiam identificar nenhuma dessas figuras, pois esta última não faz parte
do grupo dos quadriláteros. Nove deixaram de responder o nome desta figura.
responder
Já para o círculo obtivemos variadas respostas. Os alunos e alunas
usaram cinco nomes diferentes para identificar essa figura. Sendo que quatro a
nomearam corretamente, dois a chamaram de cubo, um de redondo, quatro de
bola e um de esfera, mostrando que estes educandos têm dificuldade em
t m
diferenciar figuras planas das não-planas. Os quatro alunos (as) restantes não
não
souberam responder. É interessante observar que alguns alunos (as) fizeram
uso do nome de um objeto do cotidiano, a bola, para identificar a figura mesmo
figura,
que erroneamente, do círculo.
o
Após trabalharmos com as figuras planas nas três primeiras questões
resolvemos explorar alguns sólidos geométricos nas duas últimas.
s ú
A quarta questão pedia para os alunos e alunas escreverem o nome
pelo qual eles conheciam cada uma das seguintes figuras:


Fonte: Marques e Silveira, Matemática. 4.ª série, 1995, p. 208 (adaptação)
Matemática

Nenhum aluno (a) do turno matutino acertou por completo as respostas,
sendo que quatro deixaram a questão toda em branco. Como resposta da
primeira figura, o cilindro, seis alunos (as) não escreveram nome que o
identificasse, um outro (a) o chamou de cubo, outro de esfera, enquanto dois
alunos atentaram para alguma característica de sua forma, chamando de
lguma chamando-o
redondo. Ao contrário da figura anterior a maioria dos estudantes tentou
responder o nome pelo qual eles conheciam o paralelepípedo, mas nenhum
deles obteve êxito. Verificamos também que dois alunos (as) não escreveram
alu

46

qualquer palavra como resposta. Dos oito que responderam sobre a segunda
figura, sete denominaram o paralelepípedo de retângulo e um de quadrado. Já
na nomeação do cubo, um aluno (a) conseguiu responder corretamente e um
deixou esta figura sem resposta. Os outros oito alunos (as) escreveram
quadrado para identificar essa figura geométrica. A última figura a ser nomeada
era o cone. Mais uma vez foram poucos os alunos que tentaram responder o
que foi solicitado. Nove alunos (as) não atribuíram qualquer nome, sendo que
quatro deles não responderam qualquer uma das figuras. Verificamos que
quatro nomearam equivocadamente, identificando-o como triângulo e somente
um aluno (a) nomeou o cone corretamente.
No turno da tarde os alunos e alunas também não obtiveram êxito ao
nomear as figuras apresentadas. Nenhum deles soube identificar corretamente
o nome de qualquer um desses sólidos geométricos. No matutino houve dois
alunos (as) que acertaram a nomenclatura de duas figuras, o cone e o cubo.
Mas no caso do vespertino todos os alunos, sem exceção, não conheciam o
nome correto das quatro figuras geométricas presentes na questão dada. Doze
deles (as) atribuíram o nome de cubo para o cilindro. Um aluno (a) o chamou
de círculo, dois deixaram sem resposta e dois utilizaram a nomenclatura de
objetos conhecidos para identificar essa figura: “balde” e “paçoca”. Do mesmo
modo, um aluno (a) fez essa associação ao identificar o paralelepípedo como
televisão. Para treze destes alunos (as) este sólido pode ser nomeado por
retângulo, dois por quadrado e um não fez nomeação alguma.
As respostas apresentadas para a terceira figura desta questão foram
quase unânimes, pois dezesseis alunos (as) chamaram o cubo de quadrado.
Curiosamente um mesmo aluno (a) nomeou o paralelepípedo e o cubo de
quadrado. Assim, para ele pode não haver diferença entre essas figuras. O
aluno (a) que divergiu das respostas de seus colegas na nomeação do cubo
afirmou que o conhece por “caixa”, relacionando-o com um objeto real. A última
figura foi nomeada, por nove alunos e alunas como pirâmide. Ela também foi
identificada como triângulo por quatro destes alunos e alunas. Enquanto três
reconheceram nesta figura o cubo e apenas um o identificou como “redondo”.
Com base nos resultados descritos afirmamos que esses alunos e
alunas têm bastante dificuldade em distinguir figuras planas das não-planas.
Vasconcelos (2005) também detectou essa situação em pesquisa já citada no

47

primeiro capítulo. Em suas pesquisas a autora afirma que para os discentes o
quadrado e a representação gráfica do cubo representam a mesma figura, bem
como não diferenciam o círculo da representação gráfica da esfera e assim
sucessivamente. Para esta autora as crianças consideram que ambos os
grupos de figuras (planas e não-planas) “[...] pertencem a um mesmo conjunto”
(p. 113). Kaleff (1994, apud VASCONCELOS, 2005) explica que os alunos
precisam abstrair algumas propriedades pertinentes às figuras geométricas
para então serem capazes de realizar tal diferenciação. Ainda a este respeito
esta autora informa que são frequentes as dificuldades dos alunos relativas à
identificação de figuras não-planas quando são representadas graficamente.
Ela justifica esta afirmação citando Pais (1999):

[...] ao fixar sua atenção num determinado aspecto gráfico particular a
criança deixa de perceber a figura em seu todo. Em segundo lugar,
ao interpretar um desenho, o uso da perspectiva que serve para
colocar em evidência a terceira dimensão do objeto representado, é
uma das dificuldades encontradas pelos alunos (p. 68).

Outro detalhe que nos chamou atenção foi o fato de alguns alunos (as)
terem afirmado que conhecem as figuras apresentadas como elementos do dia
a dia, ou seja, elas reconhecem que aquelas representações são figuras
geométricas, mas não sabem nomeá-las corretamente. Podemos então
confirmar o que vários estudiosos afirmam a respeito de como a geometria faz
parte das nossas atividades e de como as intuições espaciais são adquiridas
espontaneamente através da interação com o meio. Moraes (2008) destaca
que o nosso mundo é tridimensional e isto possibilita o aprofundamento das
nossas relações de “orientação, deslocamento, forma e grandeza” (p. 14). No
entanto, os sujeitos envolvidos nesta pesquisa talvez não tenham tido a
oportunidade de transformar o conhecimento intuitivo que trazem consigo em
embasamento que servisse para interpretar a atividade proposta e adotar os
procedimentos necessários à resolução das questões apresentadas.
Na última questão trabalhamos com o conceito de vértice, face e aresta.
Para isso, trabalhamos com duas versões diferenciadas: a imagem de uma
caixa de creme dental representando um paralelepípedo na atividade avaliativa

48

e, a confecção manual pelos alunos e alunas de um cubo através de papel em
formato de quadrado utilizando a técnica de origami2.

Imagem 5: Questão da Atividade Avaliativa aplicada aos alunos e alunas do
do Bonfim, Bahia, no mês de novembro de 2010

Fonte: Giovanni e Giovanni Junior. Matemática: Pensar e Descobrir,
2000, p.36 (adaptação)

Na atividade avaliativa solicitamos que os alunos e alunas identificassem
diante da imagem da caixa, as faces, as “pontas ou bicos” (vértices) e as
“dobras” (arestas). Escolhemos esta questão porque queríamos que os alunos
(as) não apenas registrasse a quantidade de cada elemento – vértice, face e
aresta, mas que utilizassem suas intuições geométricas e descobrissem
através da exploração da caixa confeccionada as respostas corretas.
Em sala confeccionamos com papel em formato de quadrado o cubo
com a participação ativa dos alunos e alunas tanto no turno matutino quanto no
vespertino. Ao passo em que construíamos a representação do sólido,
fazíamos também algumas considerações em relação às propriedades e sua
utilização no nosso dia a dia. Nesta construção, alguns alunos (as)
apresentaram dificuldade em relação às “dobras” necessárias a construção.
Este problema, no entanto, foi rapidamente sanado com alguma interferência
nossa e de alguns dos alunos (as) próximos a eles (as).
Após o término dessa etapa os alunos e alunas responderam o que foi
solicitado. Os resultados, entretanto, não foram positivos. Somente dois alunos
(as) do turno da manhã acertaram a quantidade de faces, vértices e arestas.
Sete acertaram quantas faces possui no paralelepípedo representado pela

2
De acordo com Santana (2001, p. 348), o Origami ou arte de dobrar papel “[...] se constitui em
uma ferramenta de qualidade, auxiliando no desenvolvimento de vários tópicos da disciplina,
através da confecção de figuras geométricas”.

49

imagem da caixa. Um aluno (a) registrou oito faces, outro (a) registrou cinco e
três alunos (as) afirmaram que a imagem representada tem quatro faces.
Nestes registros pudemos constatar que os alunos e alunas souberam
identificar mais os vértices do que as faces, sendo que dez escreveram a
quantidade correta de vértices da caixa, um escreveu que o paralelepípedo
representado na caixa tinha onze vértices e outro contou sete desse elemento.
Nenhum dos estudantes, além dos que acertaram todos os elementos (dois),
achou a quantidade correta das arestas, sendo que um escreveu que existiam
onze arestas na caixa de creme dental, um aluno (a) contou seis, outro
somente contou quatro e mais um (uma) escreveu dez arestas. Quatro alunos
(as) afirmaram que havia oito arestas e quatro identificaram apenas duas.
Os resultados do vespertino foram bem parecidos com o do matutino.
Três alunos (as) acertaram todos os elementos do paralelepípedo presentes na
caixa de creme dental. Os sete alunos (as) restantes acertaram a quantidade
de faces, mas erraram a dos vértices, arestas ou os dois simultaneamente.
Três contaram apenas quatro faces, três identificaram cinco faces e um aluno
(a) registrou uma quantidade acima da correta – dez faces. Nove acertaram o
número de vértices, quatro alunos (as) identificaram sete e um (uma) contou
apenas seis vértices. A aresta foi o elemento que os alunos sentiram mais
dificuldade em identificar. Apenas um aluno (a) acertou a quantidade correta.
Três escreveram que identificaram apenas quatro arestas, dois identificaram
cinco dessas “dobras”, dois quantificaram em vinte e quatro, ou seja, o dobro
de arestas do sólido. Verificamos ainda que seis alunos (as) registraram oito
arestas para o paralelepípedo, ou seja, quatro a menos da quantidade certa.
De modo geral, os alunos que participaram desta pesquisa
apresentaram grandes limitações no que diz respeito à identificação de
algumas propriedades das figuras geométricas e também em relação à
diferenciação das figuras planas das não-planas. Constatamos que as intuições
geométricas trazidas pelos indivíduos não foram transformadas em níveis mais
avançados de conhecimento. Segundo Viana (2000) apenas a observação das
formas do cotidiano não leva o aluno à construção dos conceitos geométricos.
É necessário também que sejam dominadas algumas idéias matemáticas que
deveriam ser aprofundadas em sala de aula.

50

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O conhecimento geométrico é bastante discutido e até valorizado por
muitos estudiosos da área de Educação de Matemática especialmente no início
deste século. No entanto, ainda são variados os obstáculos que a geometria
enfrenta principalmente em sua abordagem no período que vai do segundo ao
quinto ano do ensino fundamental. Neste trabalho pudemos, através de
referencial teórico específico, aprofundar mais nosso conhecimento sobre esta
questão visando, sobretudo, analisar o nível de aprendizagem de conteúdos
geométricos de alunos e alunas do quinto ano do ensino fundamental, da
Escola Municipal Doutor José Gonçalves no município de Senhor do Bonfim,
Bahia.
Para tanto, primeiramente procuramos através de alguns autores que
realizaram pesquisas a esse respeito, bem como de estudos que mostram a
importância da geometria para o desenvolvimento do raciocínio lógico e
espacial, dar suporte teórico atualizado aos nossos estudos. Estes referenciais
indicam que a geometria proporciona aos alunos o desenvolvimento de
habilidades necessárias para interpretar organizadamente o meio onde estão
inseridos, e também indicam claramente que os conteúdos geométricos devem
ser abordados de maneira prática em sala de aula.
Além destes referenciais, procuramos entender os mecanismos
utilizados por nosso organismo no processo de construção do conhecimento.
Por isso, buscamos embasamento na Teoria de Jean Piaget em relação ao
desenvolvimento cognitivo do ser humano. Este autor nos forneceu muitas
considerações sobre a construção das noções espaciais pela criança. Noções
estas indispensáveis para compreender melhor os conteúdos geométricos.
Estes estudos nos remeteram as pesquisas do casal holandês, van Hiele.
Estudos estes, por sua vez, que culminaram na teoria dos níveis de
desenvolvimento do pensamento geométrico, também tratada em nosso
trabalho.
Após tratarmos da teoria necessária para realização dessa pesquisa
definimos o método a ser utilizado na coleta dos dados. Julgamos mais

51

conveniente trabalhar com a pesquisa qualitativa, pois ela permite maior
interação entre pesquisador e pesquisados.
Para coletar os dados utilizamos como instrumento a observação e uma
atividade avaliativa composta por um questionário que visava identificar o perfil
dos sujeitos e, por cinco questões sobre geometria plana e espacial.
Esta atividade avaliativa foi aplicada para trinta e uma crianças que
freqüentavam o quinto ano do ensino fundamental da Escola Municipal Doutor
José Gonçalves, localizada no Bairro Casas Populares, no município de
Senhor do Bonfim, Bahia.
Como resultado das respostas obtidas pela atividade avaliativa,
podemos constatar que o fato do aluno (a) ter ou não freqüentado essa mesma
Escola nas três primeiras séries não interferiu no seu desempenho em relação
aos conteúdos geométricos, ou seja, as dificuldades encontradas por estes
estudantes foram equivalentes aos demais sujeitos, tendo em vista essa
característica especificamente.
No entanto, o resultado mais significativo detectado e que predominou
todas as respostas fornecidas as questões foi que esses alunos (as)
demonstraram pouco aprendizagem a respeito dos conteúdos geométricos.
Eles (as) carregam um precário conhecimento sobre as figuras geométricas.
Pelas respostas percebemos que alunos e alunas quase não identificam as
propriedades das figuras planas. Assim, quando solicitado a nomeação de
figuras planas e, na mesma questão misturam-se várias figuras, os alunos e
alunas ou atribuem erradamente os nomes destas figuras ou deixam sem
respostas, mostrando claramente a “confusão” das informações ou o
desconhecimento desta identificação. Verificamos ainda, que as crianças
apresentaram dificuldades em identificar figuras não planas e algumas se
aventuraram a identificá-las com nomes de objetos reais. Esta “confusão”
também é registrada quando as figuras geométricas são associadas a
situações reais.
Os resultados desse trabalho foram bem parecidos com os de algumas
pesquisas realizadas por alguns autores que nos serviram de embasamento
teórico. Isto nos leva a refletir, embora não tenhamos intuito de generalizações
com estes estudos, que a realidade encontrada talvez não seja apenas um
caso específico, mas que ela faça parte de um bloco de problemas que o

52

ensino de geometria enfrenta, possivelmente noutras escolas deste mesmo
Bairro e do município.
Ainda assim, acreditamos que a geometria pode sim ser desenvolvida
nas escolas como parte essencial do currículo de matemática, desde que os
professores (as) atentem para a importância desses conteúdos e atribuam
atenção especial a metodologia aplicada.
Esperamos que a partir deste estudo outros profissionais, envolvidos
nessa área, sintam-se instigados a pesquisar mais sobre esse assunto, ou
mesmo se sintam instigados a ampliá-lo como é nosso propósito, ou que se
sintam instigados a compor uma pesquisa mais abrangente desenvolvida na
nossa Universidade pelo grupo de pesquisa ao qual somos integrantes.
Pesquisas estas que possam, por exemplo, verificar o que aqui foi posto em
evidência, mas na vertente do professor (a). Poderemos então, diante das duas
versões – alunos (as) e professores (as), identificar mais claramente os
problemas enfrentados para o ensino e aprendizagem da geometria nesta
Escola e, a partir disto, construir uma proposta diferenciada para atender este
público específico.

53

REFERÊNCIAS

BERTONHA, Regina Aparecida. O ensino de geometria e o dia a dia na sala de
aula. 1989. 176 f. Dissertação. (Mestrado em Educação)–Universidade
Estadual de Campinas, Campinas, 1987. Disponível em:
<http://biblioteca.universia.net/html_bura/ficha/params/id/22564933.html>. Acesso
em: 07 jul. 2009.

BOCK, Ana Mêrces Bahia; FURTADO, Odair; TEIXEIRA, Maria de Lourdes T.
Psicologias: uma introdução ao estudo de psicologia. 9. ed. São Paulo:
Saraiva, 1999.

BONON, Lucia Helena. O processo de construção das noções espaciais
topológicas na interação da criança com seu meio ambiente. 1987. 181 f.
Dissertação. (Mestrado em Educação)–Universidade Estadual de Campinas,
Campinas, 1987. Disponível em:
<http://libdigi.unicamp.br/document/?code=vtls000018037>. Acesso em: 07 jul.
2009.

BRASIL, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
curriculares nacionais: ensino médio. Brasília: MEC/SEMTEC, 2002.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental. Brasília: MEC/SEF,
1998.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais: primeiro e segundo ciclo do ensino fundamental. Brasília: MEC/SEF,
1997.

BRITO, Kleisy Laiana; SOUZA FILHO, Joaquim Borges. O Aprendizado da
Geometria Contextualizada no Ensino Médio. 2006. 78 f. Monografia
(Especialização em Educação Matemática)–Instituto de Ensino Superior de Goiás,
Goiania, 2006. Disponível em: < http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/Aprendizado-
Geometria-Contextualizado.pdf>. Acesso em: 30 jun 2009.

CRUZ, Ozelito Souza. Trabalho Infantil e Ensino Fundamental na Área Sisal.
2002. 162f. Dissertação (Mestrado em Educação)-Universidade do Québec em
Chicoutimi/Universidade do Estado da Bahia, Senhor do Bonfim, 2002.
Disponível em: <http://bibvir.uqac.ca/theses/17607565/17607565.pdf>. Acesso
em: 01 fev. 2011.

FAINGUELERNT, Estela Kaufman. O ensino de geometria no 1.º e 2.º grau. In:
Educação Matemática em Revista da Sociedade Brasileira de Educação
Matemática, São Paulo, a. 3, n. 4, p. 31-42, 1.º sem, 1995.

54

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http://www.tede.ucdb.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=155>. Acesso em 10
jul. 2009.

57

APÊNDICE A

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO-CAMPUS VII - SENHOR DO BONFIM/BA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Este aluno (a) está convidado (a) a participar desta pesquisa. Ao aceitar, estará
permitindo a utilização dos dados aqui fornecidos para fins de análise. Você tem
liberdade de impedir o (a) aluno (a) sob sua responsabilidade de participar, e ainda, de
se recusar a continuar participando em qualquer fase da pesquisa, sem qualquer
prejuízo pessoal.
Todas as informações coletadas neste estudo são estritamente confidenciais, você ou
o (a) aluno (a) não precisará se identificar e somente as pesquisadoras e sua equipe
terão acesso as suas informações.

INFORMAÇÕES SOBRE A PESQUISA

Título Provisório do Projeto: GEOMETRIA NAS SÉRIES INICIAIS: DIFICULDADES
EM APRENDIZAGEM DE ALUNOS DA 4.ª SÉRIE DA ESCOLA MUNICIPAL DR.
JOSÉ GONCALVES EM SENHOR DO BONFIM – BA.
Pesquisadora Responsável: Juciane de Jesus Aleixo
Orientadora: Mirian Brito

Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida, autorizo
a participação do (a) aluno (a) sob minha responsabilidade a participar desta pesquisa.

Assinatura do Responsável pelo (a) Aluno (a)

59

DEPTO. EDUCAÇÃO: CAMPUS VII - SENHOR DO BONFIM/BA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO III: MONOGRAFIA
PESQUISADORA: JUCIANE DE JESUS ALEIXO
PROFA. ORIENTADORA: MIRIAN FERREIRA DE BRITO
MONOGRAFIA-Título Provisório: Geometria nas Séries Iniciais: dificuldades em
aprendizagem de alunos da 4.ª série da Escola Municipal Dr. José Gonçalves em Senhor
do Bonfim – BA.

ATIVIDADE AVALIATIVA

PARTE I (ENTREVISTA)

Responda:

1 Sexo:
( ) Feminino ( ) Masculino

2 Qual a sua idade:

____________________________

3 Você estuda nessa escola desde a 1.ª série?
( ) Sim ( ) Não. A partir da _____ série.

4 Você mora em qual bairro?
( ) Casas Populares ( ) Barbosa Santos ( ) Alto da Rainha
( ) Outro. Qual?____________________

PARTE II (ATIVIDADE)

1 Assinale o (s) triângulo (s):

a) b) c) d) e)

2 Assinale o (s) retângulo (s):
a) b) c) d) e)

60

DEPTO. EDUCAÇÃO: CAMPUS VII - SENHOR DO BONFIM/BA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO III: MONOGRAFIA
PESQUISADORA: JUCIANE DE JESUS ALEIXO
PROFA. ORIENTADORA: MIRIAN FERREIRA DE BRITO
MONOGRAFIA-Título Provisório: Geometria nas Séries Iniciais: dificuldades em
Título Provisório:
aprendizagem de alunos da 4.ª série da Escola Municipal Dr. José Gonçalves em Senhor
a
do Bonfim – BA.

ATIVIDADE AVALIATIVA

CONTINUAÇÃO

3 Observe a imagem da bandeira do Brasil ao lado e escreva quais figuras geométricas você identifica nela:

____________________________
____________________________
___________________________
____________________________

4 Diga o nome pelo qual você conhece cada uma das figuras abaixo:

____________ ____________ ____________ ____________

5 Pegue uma caixa de papelão vazia (não pode ter a forma arredondada). Observe a caixa e responda:

a) Quantas faces têm essa caixa? ________________
b) Quantas pontas (ou bicos) você identifica nessa caixa?__________________
c) Percorra com o dedo as dobras dessa caixa. Quantas dobras diferentes você
identifica nela?__________________

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