Aritmética modular
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O documento explora a aritmética modular, abordando operações básicas como adição, subtração e inverso modular no contexto dos inteiros módulo n. Ele apresenta exemplos práticos e a aplicação da aritmética modular em diversos campos, como criptografia e geração de números aleatórios. Além disso, discute conceitos como congruência e números primos entre si.
Aritmética modular
- 1. ARITMÉTICA MODULAR Um novo contexto para operações básicas
- 2. EQUIPE Wesley Siebra Maurício Neto Joéliton Araújo Ellison Alencar Paulo Dayvson
- 3. A OPERAÇÃO (A mod B) 11 (mod 3) = 2 - 37 (mod 5) = 3 5 (mod 7) = 5
- 4. CONGRUÊNCIA
- 5. EXEMPLO Verificar se 14 e 22 são congruentes no módulo 6:
- 6. O QUE É ARITMÉTICA? É o estudo das operações básicas: Adição; Subtração; Multiplicação ; Divisão.
- 7. CONTEXTO Esta visão mais simplista da aritmética é normalmente estudada no contexto dos conjuntos Z (inteiros) e Q (naturais).
- 8. UM NOVO CONTEXTO O novo contexto que iremos trabalhar é o conjunto Zn . Dado um número inteiro n>1, então:
- 9. UM NOVO CONTEXTO Como todo número inteiro produz um resto ao ser dividido por n, Zn tem em si um representante para cada número inteiro.
- 10. UMA NOVA VISÃO
- 11. ADIÇÃO MODULAR
- 12. EXEMPLOS = (5 + 5) mod 10 = 10 mod 10 = 0
- 13. EXEMPLOS Ainda com n = 10 = (9 + 9) mod 10 = 18 mod 10 = 8
- 14. SUBTRAÇÃO MODULAR Exemplo: (Com n = 10) = (8 - 5) mod 10 = 3 mod 10 = 3
- 15. PRIMOS ENTRE SI Dois números inteiros quaisquer são primos entre si quando: mdc(a,b) = 1
- 16. INVERSO MODULAR
- 17. EXPLORANDO ALGUNS INVERSOS (mod n) , COM n = 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 0 2 4 6 8 1 3 5 7 3 0 3 6 0 3 6 0 3 6 4 0 4 8 3 7 2 6 1 5 5 0 5 1 6 2 7 3 8 4 6 0 6 3 0 6 3 0 6 3 7 0 7 5 3 1 8 6 4 2 8 0 8 7 6 5 4 3 2 1
- 18. NOTA-SE QUE... Os números invertíveis foram: 1, 2, 4, 5, 7 e 8 (primos entre si com 9) Os não-invertíveis foram: 0, 3 e 6. (Não são primos entre si com 9)
- 19. DIVISÃO MODULAR Onde b-1 é o inverso modular de a.
- 20. EXEMPLO
- 21. APLICAÇÕES Cálculos envolvendo datas, períodos e ciclos de tempo e outros; Identificação (CPF, CNPJ, ISBN,ISSN); Criptografia; Geração de números pseudo- aleatórios; Endereçamento de memória; Código de barras; etc.
- 23. SOLUÇÃO... Como 118 mod 8 = 6, então a estará no fio G.
- 24. EXERCÍCIOS
- 25. FIM!