Inscricaoecircunscricaodesolidosgeometricos
- 1. Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos Esfera e cubo Esfera e cilindro Esfera e cone reto Cilindro e cone reto
- 2. Introdução Nosso último estudo em Geometria será destinado aos sólidos inscritos e circunscritos. Existem numerosas relações entre dois sólido quando construímos um deles dentro do outro. São algumas dessas relações que estudaremos a partir de agora.
- 3. Esfera e cubo Considere uma esfera cujo o raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas têm medida a. Existe uma relação entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera. Como a superfície esférica intersecta o cubo em seis pontos, localizados nos centros das faces, temos três pares de pontos diametralmente opostos. Assim, a medida de cada aresta do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera. a = 2.R
- 4. Esfera e cubo Considere um cubo cujas arestas medem A, inscrito em uma esfera cujo o raio tem medida R: Observe que os vértices do cubo pertencem à superfície esférica. Assim, a medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera. Dcubo = 2.R a. 3 = 2.R
- 5. Esfera e cubo Para você fazer – p. 34 1) Uma esfera está inscrita em um cubo cujo o volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume da esfera. Sendo " a" a medida das arestas do cubo, temos que a 3 = 64dm → a = 4dm Assim, a medida do raio da esfera é a = 2.R, portanto, R = 2 dm, 4 e seu volume é igual Vesfera = πR 3 , então : 3 4 Vesfera = .π 23 3 esfera V 32π 3 dm = 3
- 6. Esfera e cubo Para você fazer – p. 34 2) Uma esfera, cuja área da superfície mede 192πcm², circunscreve um cubo. Calcule o volume desse cubo. Sendo R a medida do raio da esfera, temos que 4π .R = 192π → R = 4 3cm 2 Sendo " a" a medida das arestas do cubo, temos a 3 = 4.2 3 → a = 8cm Assim, o volume do cubo é igual a 8 = 512cm 3 3
- 7. Esfera e cilindro Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cilindro reto. Como a superfície intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja o cilindro é equilátero.
- 8. Esfera e cilindro Nesse caso como podemos estabelecer uma relação entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro? Observe a figura a seguir: 2R h No triângulo retângulo, de catetos medindo h e 2r, onde h e r são as medidas da altura e do raio do cilindro, e da hipotenusa medindo 2R, podemos escrever: (2R )2 = (2r )2 + h 2 4 R = 4r + h 2 2r 2 2
- 9. Esfera e cilindro Para você fazer – p. 35 Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 10cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a esfera. Resposta: Se a altura do cilindro mede 10cm, então o raio da base desse cilindro e o raio da esfera medem 5 cm. Assim, o volume compreendido entre o cilindro e a esfera é igual a 1) Vesfera − Vcilindro 4 500π 3 π .5 .10 − .π .5 = 250π − 3 3 2 250π 3 Vt = cm 3
- 10. Esfera e cilindro Para você fazer – p. 35 2) Em uma esfera, está inscrita um cilindro reto cuja altura mede 20 cm e cujo raio da base mede 8cm. Calcule a área da superfície dessa esfera. Na figura, temos que (2R ) = (20) + 16 2 → 4 R 2 = 400 + 256 → R 2 = 164 2 2 → R = 2 41 cm. ( ) A área da superfície da esfera é igual a 4π . 2 41 = 656π cm 2 2
- 11. Esfera e cone reto Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em uma cone também é possível inscrever ou circunscrever uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h. Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção r h−r = R g
- 12. Esfera e cone reto Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual 1/3 da medida da altura do cone, ou seja, h = 3r Assim, por meio do Teorema de Pitágoras, temos: (2 R )2 = R 2 + (3r )2 → 4 R 2 = R 2 + 9r 2 → 3R 2 = 9r 2 R=r 3
- 13. Esfera e cone reto Agora, considere uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h. No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever : R = r + (h − r ) 2 2 2
- 14. Esfera e cone reto Existem outras relações entre as medidas do raio da esfera da base do cone, da altura e da geratriz do cone. Porém, não existe necessidade de conhecêlas, pois, por meio da relação anterior, podemos obter quaisquer outras medidas. Se o cone é equilátero, a media do raio é igual a 2/3 da medida da altura do cone, ou seja, h = 3R/2. Logo, por meio do Teorema de Pitágoras, temos: (2r )2 = r 2 + 3R 2 9R 2 4r 2 = r 2 + 4 9R 2 2 3r = 4 3R 2 r2 = 4 2 R 3 r= 2
- 15. Esfera e cone reto Para você fazer – p. 36 1) Uma esfera está inscrita em um cone reto cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm. Calcule o volume dessa esfera. Sendo g a medida da geratriz do cone, temos que g = 6 + 8 → g = 10cm 2 2 2 Sendo R a medida do raio da esfera, temos, por meio de uma semelhança de triângulos, que : R 8 −R = → 10R = 48 − 6R → R = 3cm 6 10 Assim, o volume da esfera é igual a 4 .π .33 = 36π cm3 3
- 16. Esfera e cone reto Para você fazer – p. 36 2) Em um cone equilátero, cujo volume é igual 72π√3 cm³, inscreve-se uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera. Em um cone equilátero , a medida da geratriz é igual ao dobro da media do raio. Assim, sendo h a medida da altura do cone, temos que : (2R )2 = R 2 + h 2 → h = R 3 Como o volume do cone é igual a 72π 3cm 3, temos : 1 72π 3 = .π .R 2 .R 3 → 216 = R 3 → R = 6cm 3 Assim, a medida da altura do cone é 6 3 cm e, como a medida do raio da esfera é igual a terça parte da medida da altura do cone, o raio da esfera mede 2 3 ( ) A área da superfície esférica é igual a 4π . 2 3 = 48πcm3 2
- 17. Esfera e cone reto Para você fazer – p. 36 3) Um cone equilátero está inscrito em uma esfera cujo volume mede 288π m³. Calcule a área lateral desse cone. Sendo R a medida do raio da esfera, temos 4 .π .R 3 = 288π → R 3 = 216 → R = 6cm 3 2 2 h → 6 = h → h = 9m 3 3 2 Sendo r a medida do raio da base cone equilátero , então (2R ) = R 2 + h 2 Sendo h a medida da altura do cone, temos R = (2.6 )2 = r 2 + 9 2 → r 2 = 27 → r = 3 3m Assim, a área lateral do cone é igual a π .r.g = π .3 3.6 3 = 54π m 2
- 18. Cilindro e cone retos Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura: Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro, e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.
- 19. Cilindro e cone retos Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H.
- 20. Cilindro e cone retos H-h g G r H Gg h h r R-r R
- 21. Cilindro e cone retos Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escrever as seguintes proporções: Tomando II e I, temos II r H −r g = = R H G Tomando II e III, temos r H −r g = = R -r h G−g I III Tomando III e I, temos R -r h G − g = = R H G
- 22. Cilindro e cone retos Para você fazer – p. 37 Se um cilindro cuja altura mede 10cm está inscrito em cone reto cuja geratriz mede 25 e com raio da base medindo 20 cm, calcule o volume desse cilindro. Para calcular o volume, temos : 25 = 20 2 + h 2 → h = 15cm Por meio de uma semelhança de triângulo, podemos : r H −r r 15 − 10 20 = → = →r = cm R H 20 15 3 Assim o volume, temos : 4000π = cm3 9 V ordnilic ordnilic V = π .R 2 .h 2 V Sendo h a medida da altura do cone, temos que : 2 4000π 20 = π .R 2 .h = π . .10 = 9 3 ordnilic
- 23. Resolução de Atividades Página 37 e 38 Nota livre - Vestibulares
- 24. Parabéns, chegamos ao fim da Geometria