Matemática discreta cap. 1
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O documento apresenta os principais tópicos da teoria dos números: divisibilidade, congruências lineares e o teorema chinês do resto. Aborda conceitos como primos, algoritmo de Euclides, fatoração única e infinitude dos primos. Explica como as congruências lineares podem ser usadas para resolver equações diofantinas.
Matemática discreta cap. 1
- 2. Roteiro I. Introdução II. Divisibilidade III.Congruências Lineares IV.Aplicações das Congruências Lineares V. Teorema Chinês do Resto
- 3. Introdução - Teoria dos Números é uma disciplina nova? 1800 AC 1650 AC 300AC
- 4. Introdução - É preciso um conhecimento profundo em Matemática para se entender as formulações da Teoria dos Números? “Todo número par maior do que 2 pode ser escrito como a soma de dois números ímpares?” 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 12 = 5 + 7... Euler disse: “Parece verdadeiro, mas eu não consigo provar...”
- 5. Introdução - Inicialmente não possuía qualquer aplicação prática. Criptografia!
- 6. Divisibilidade Definição 1: Um inteiro a é divisível por um inteiro b (não-nulo), se existe um inteiro k, tal a = kb. Escreve-se: b|a Leia-se: b divide a
- 7. Divisibilidade Teorema 1: Para quaisquer a, b, c e d inteiros, tem-se: a) a|b a|bc, c b) a|b e c|d ac|bd c) a|b e b|c a|c d) a|b e a|c a|(bx+cy), x,y inteiros e) a|b e b|a a=b f) a|b com a,b > 0 a b g) a|b ma|mb, m inteiro não-nulo
- 8. Divisibilidade Teorema 2: Para quaisquer a, b inteiros, com b>0, existem inteiros únicos q e r, tais que a = qb+r, 0 r < b. Se b não divide a (b∤a), então, 0 < r < b. Este Teorema é conhecido como o Algoritmo da Divisão. Chamos q de quociente e r de resto. Obs: Note que se a = -19 e b = 5, então, pelo Algoritmo da Divisão deve-se ter q = -4 para que r = 1 (r 0).
- 9. Divisibilidade Definição 2: Para quaisquer a, b inteiros, com pelo menos um deles não-nulo, então, d = MDC(a,b) se: a) d|a e d|b b) Se c|a e c|b c d
- 10. Divisibilidade Teorema 3: Se d = MDC(a,b), então, existem inteiros x e y tais que d = ax + by. Prova: No quadro durante a apresentação Note que se a e b são relativamente primos, então, podemos escrever: ax + by = 1 Como encontrar X e y?
- 11. Divisibilidade Algoritmo de Euclides: Considere a aplicação repetida do algoritmo da divisão da seguinte forma: O MDC(a,b) é o último resto não-nulo
- 12. Divisibilidade Exemplo: MDC(172,20) 172 = 20x8 + 12 20 = 12x1 + 8 12 = 8x1 + 4 MDC (172,20) = 4 8 = 4x2 + 0
- 13. Divisibilidade Vamos encontrar x e y? 12 = 172 -20x8 8 = 20 -12 4 = 12 – 8 = 12 – (20 – 12) = 12x2 -20 4 = 2x(172-20x8)-20 4 = 172x2 -20x16 -20 4 = 172x(2) + 20x(-17) X = 2, y = -17
- 14. Divisibilidade Uma pergunta interessante e que não pode passar livremente é: “Por que o Algoritmo de Euclides funciona?” O que o Algoritmo de Euclides diz, de fato, é que: d = MDC(a,b) = MDC(a,b-qa) Mas, isto é uma consequência da propriedade que afirma MDC(a,b)=MDC(a,ax+b) onde x = -q.
- 15. Divisibilidade Vamos provar então que se d = MDC(a,b), então, d = MDC(a,ax+b) Considere que t = MDC(a,ax+b). Logo, t|a e t|(ax+b). Portanto, t|b. Logo, t|d (td). Suponha t < d. d =qt + r r = d – qt (r < t). Portanto, t|r, pois t|d e t|qt. Impossível, pois r<t. Logo, t = d.
- 16. Números Primos Um número inteiro p>1 é dito ser primo se não houver nenhum divisor d de p tal que 1<d<p. Caso contrário, o número é dito ser composto. Atualmente, o criptosistema RSA te sua segurança baseada na dificuldade em se fatorar um número composto n como o produto de dois primos distintos p e q.
- 17. Números Primos
- 18. Números Primos
- 19. Um inteiro da forma: 𝑀 𝑛 = 2 𝑛 − 1 é chamado um inteiro de Mersenne. Quando este número for primo, chamamos os mesmos de “Primos de Mersenne”. Primos de Mersenne
- 20. Pode-se mostrar que se 𝑎 𝑛 − 1 (𝑎 > 0, 𝑛 ≥ 2) é primo, então, a = 2 e n é primo. Existe um especial interesse em corpos finitos do tipo 𝐺𝐹(2 𝑝 − 1) pois as operações de multiplicação são mais simples. Primos de Mersenne
- 21. Um inteiro da forma 𝐹𝑛 = 22 𝑛 + 1 é dito ser um número de Fermat. Se um número de Fermat é primo, então ele possui a forma acima. O contrário pode não ser verdade. Primos de Fermat
- 22. A fatoração de qualquer número inteiro n (n>1) como produto de fatores primos é única. Note que em S = {2,4,6,8,...} a fatoração não é única neste conjunto, pois 60 = 2x30 = 6x10. Teorema da Fatoração Única
- 23. A série dos números primos é infinita. Teorema de Euclides
- 24. Congruências Lineares Introduzidas por Gauss em 1801 no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (Pesquisas Aritméticas). Definição: Dados os inteiros a,b e n (n>0), diz-se que a é congruente com b módulo n se n divide a-b. 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)
- 26. Congruências Lineares A equação 𝑎𝑥 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), com x a determinar, pode ser escrita como 𝑎𝑥 − 𝑐 = 𝑘𝑛 Portanto, 𝑎𝑥 − 𝑛𝑘 = 𝑐 x e k inteiros a determinar
- 27. Congruências Lineares Teorema: A equação diofantina ax + by = c possui solução se, e somente se, d=MDC(a,b)|c. Se (x0,y0) é uma solução particular, então, todas as outras soluções são: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑏 𝑑 𝑡 𝑦 = 𝑦0 − 𝑎 𝑑 𝑡 t inteiro
- 28. Aplicações das C.L. Projetar do livro
- 29. Teorema Chinês do Resto Uma das primeiras aparições foi no livro “Manual de Aritmética do Mestre Sun” (287 DC-473 DC). Desenvolvido simultaneamente por gregos e chineses para resolver problemas de astronomia.
- 30. Teorema Chinês do Resto