Precipitação

Francisco de Assis de Souza Filho

 Introdução;
 Aquisição de dados pluviométricos;
 Homogeneidade e Preenchimento de falhas;
 Precipitação Média na Bacia;
 Estatística das Precipitações: comportamento médio, padrões de variação
sazonal, interanual e plurianual;.

 Análise de frequência de chuvas;
 Curvas de Intensidade-Duração-Frequência (IDF) e Desagregação da chuva
diária em horária;
 Hietograma e Relação Precipitação-Área.

• Estimativa de Precipitação média e máxima em bacia hidrográfica.
• Risco de Falha do Sistema
- Avaliação de séries temporais de precipitação;
- Chuva de projeto;
.

• Hidrometeorológico
- Precipitação Máxima Provável (PMP)
• Análise Estatística de Séries de Precipitação
- Análise de Frequência
- Curvas Intensidade-Duração-Frequência

• As variáveis hidrológicas são aleatórias pois não seguem uma
lei de certeza;
• Assim sendo, uma variável hidrológica qualquer tem uma
certa freqüência ou probabilidade de ocorrência que está
associada a um tempo médio;

• Funceme
• ANA - hidroweb

• Detecção de erros grosseiros e pontos atípicos
- Dias inexistentes
- Valores anormais de precipitação
• Preenchimento de Falha
- Problemas com os aparelhos de registro ou com o operador do
posto
- Utilizar para totais mensais e anuais, não é recomendável o
preenchimento de chuvas diárias
• Hogeneidade dos dados.

Xs=exp(Xmed+Kn,a Sx)
Xl=exp(Xmed-Kn,a Sx)
KN,a=0,10=-3,62201+6,28446N1/4- 2,49835N1/2 +0,491436 N3/4 – 0,037911N
Naghettine e Pinto (2007-pag 270)
Chow et all (1988-pag 403)

Xs=exp(Xmed+Kn,a Sx)
Xl=exp(Xmed-Kn,a Sx)
KN,a=0,10=-3,62201+6,28446N1/4- 2,49835N1/2 +0,491436 N3/4 – 0,037911N
Naghettine e Pinto (2007-pag 270)
Chow et all (1988-pag)

• Método da Ponderação Regional;
• Regressão linear;
• Regressão linear com peso R;
• Vetor regional

• Dentre um grupo de postos, são selecionados pelo menos três que possuam
no mínimo dez anos de dados. Os postos escolhidos devem estar numa região
climatológica semelhante ao posto a ser preenchido.
• Levar em conta os registros pluviométricos de três estações vizinhas
onde:
Px – precipitação ausente que necessita ser preenchida
PA, PB, PC – precipitação postos vizinhos








 C
C
x
B
B
x
A
A
x
x P.
P
P
P.
P
P
P.
P
P
3
1
P

• Na regressão linear simples, as precipitações do posto com falhas e de um ou
mais postos vizinhos são correlacionadas.
• As estimativas dos dois parâmetros da regressão podem ser obtidos com
auxílio de planilha do Excel: ao plotar os dados de precipitação dos dois postos
no tempo e adicionar uma linha de tendência, a equação da regressão linear é
automaticamente gerada
Onde
y : precipitação estimada do posto Y;
a,b : constantes da regressão linear;
x : precipitação do posto a ser correlacionado.
A regressão linear pode ser múltipla.
y = 0,896x + 20,267
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
0,000 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000
Pici x Aeroporto
Exemplo Planilha

• Este método consiste em estabelecer regressões lineares entre o posto a ser
preenchido e cada um dos postos vizinhos. De cada uma das regressões
efetuadas, obtém-se o coeficiente de correlação “r”, e estabelecem-se fatores
de peso para cada posto.
: fator de peso entre os postos ;
: o coeficiente de correlação entre os postos citados;
N : número total de postos considerados.
Após calculados todos os fatores de peso, cuja soma deve ser sempre 1, o
valor a ser preenchido no posto Y é dado por:

• Mudança do aparelho;
• Mudança do método de observação;
• Mudança na inclinação da reta.

Precipitaçãoanualacumulada
1935
1940
1945
1950 Mo
1955
1960
1965
1970
1975
Ma
Precipitação média das estações da região (acumulada)
Pa – Ajustadas atuais
Po – Dados a serem corrigidos
Ma – Declividade atual
Mo – Declividade anterior

Dados de chuva sem problemas de consistência
Discutem-se, a seguir, alguns
casos típicos relativos à aplicação
da análise de dupla massa em que
são identificados, por diferentes
razões, problemas de consistência
dos dados.

b) mudança na declividade,
determinando duas ou mais retas.
Constitui o exemplo típico
derivado da presença de erros
sistemáticos, mudança nas
condições de observação ou a
existência de uma causa física real,
como alterações climáticas no
local provocadas pela presença de
reservatórios artificiais.

Para se considerar a existência de
mudança na declividade, é prática
comum exigir a ocorrência de pelo
menos cinco pontos sucessivos
alinhados segundo a nova
tendência. Para corrigir os valores
correspondentes ao posto sob
análise, existem duas
possibilidades: corrigir os valores
mais antigos para a situação atual
ou corrigir os valores mais
recentes para a condição antiga.

A escolha da alternativa de correção
depende das causas que provocaram a
mudança da declividade. Por exemplo,
se foram detectados erros no período
mais recente, a correção deverá ser
realizada no sentido de preservar a
tendência antiga. Os valores deverão
ser acumulados a partir do período
para o qual se deseja manter a
tendência da reta. Os valores
inconsistentes podem ser corrigidos de
acordo com a seguinte expressão:
c
c i o i
o
M
P = P + (P - P)
M
Onde:
Po = a precipitação acumulada ajustada à tendência desejada.
Pi = valor da ordenada correspondente a interseção das duas tendências
Mc = coeficiente angular da tendência desejada.
Mo = coeficiente angular da tendência a corrigir.

c) Alinhamento dos pontos em retas
paralelas:
O alinhamento dos pontos segundo
retas paralelas caracteriza a existência
de erros de transcrição de um ou mais
dados. Pode, ainda, decorrer da
presença de anos extremos em uma
das séries plotadas. Como exemplo, a
figura ao lado é construída a título de
visualização deste caso. A ocorrência
de alinhamentos segundo duas ou mais
retas aproximadamente horizontais (ou
verticais) pode ser a evidência da
comparação de postos com diferentes
regimes pluviométricos.

d) Distribuição errática dos pontos:
A distribuição errática dos pontos é
geralmente resultado da comparação
de postos com diferentes regimes
pluviométricos, sendo incorreta toda
associação que se deseje fazer entre os
dados dos postos plotados. Uma vez
finalizada a análise de consistência,
pode ser necessária a revisão dos
valores previamente preenchidos. O
preenchimento das séries é uma tarefa
que deve ser efetuada antes da análise
de consistência, para evitar distorções
no gráfico de dupla massa. Quando
neste gráfico forem observadas
modificações de tendências, o
preenchimento deverá ser revisado.

• Chuva não é uniforme
• Altura média precipitada
• Metodologias
- Aritmético
- Isoietas
- Thiessen

• Maior simplicidade
• Restrições:
- Postos uniformemente distribuídos
- Relevo plano
- Valores próximos da média
100
90
92 88
85 80 80
78 77
70
69
70
60

• Procedimento
1. Traçar Isoietas
2. Para cada par sucessivo, calcular a altura média precipitada
3. Planimetrar área entre isoietas
4.
onde:
hi = valor da isoieta da origem i
Ai = área entre isoietas sucessivas
A = área total
 
A
2
A.hh
h
i1ii 

100
90
92 88
85 80 80
78 77
70
69
70
60

• Visão Geral
- Os aparelhos não precisam estar uniformemente distribuídos;
- Cada posto – ponderado por sua área de influência.
• Metodologia
- Unir os postos por retas;
- Traçar as mediatrizes dessas retas – formando polígonos;
- Lados do polígono – limites da área de influência de cada posto
.


i
ii
A
A.P
P

65,0
48,8
71,6
57,1
60,0
39,1 117,3
75,7
127,0

• Estatística
• Variável aleatória: não possui um explicação determinista da sua ocorrência
• População: é o universo de possibilidades de ocorrência de uma variável
aleatória.
• Amostra: é a quantidade de resultados que me permite estimar as estatísticas
da população.
• Amostra representativa: as estatísticas da amostras devem ser
representativas da população. O número de anos de uma amostra de valores é
importante, mas não significa tudo.
• Valores independentes: os valores da amostra não devem apresentar
correlação entre si.

• População - Sinônimo de espaço amostral,
descreve o conjunto completo de todos os
valores representativos de um determinado
processo aleatório.
• Amostra - Qualquer subconjunto da
população.
• Parâmetros - Quantidades que são descritivas da população em um
modelo estatístico. Normalmente, as letras gregas são usadas para denotar
parâmetros estatísticos.
• Estatística amostral (ou simplesmente estatística): quantidades
calculadas com base em observações da amostra.

• Amostra, Universo e População
• Pergunta: Será que a amostra é representativa do universo?
Para responder, deve-se verificar as características amostrais e compará-las com as
características universais.
Exemplo: 0 X

• Frequência
• Probabilidade : A probabilidade é a chance de ocorrência de uma variável.
• Variável Estacionária: uma variável é estacionária quando as suas estatísticas
não variam com o tempo e Não- Estacionária no caso contrário.
• Hidrologia estocástica: trata da estatística temporal. Conceitos de
probabilidade para avaliar a variabilidade temporal de uma variável aleatória.

A estatística é baseada na análise da série de dados observados ao longo do
tempo;
Os estudos estatísticos dessas séries tem aplicações das mais diversas, tais
como:
• O comportamento climático e hidrológico regionais (série de valores médios);
• Projetos agrícolas (séries de valores mínimos);
• Projetos de obras hidráulicas (série de vazões máximas).

• Agrupamento em classes de frequência
• Definir o nº de classes (N)
nN 
• Definir a amplitude de cada classe (ac)
N
A
classesden
globalamplitude
a G
c 



Calcular o histograma da precipitação total anual do posto de Fortaleza.

• Valor Central
• Dispersão
• Assimetria
• Achatamento

• Média Aritmética
• Média Geométrica
• Média Harmônica
• Mediana
• Moda

xxmo xmd
(a) Positively Skewed, x>0
fx(x)
x
xmd xmo
x
(c) Negatively skewed, x<0
fx(x)
x
xxmo=xmd
(b) Symmetric, x=0
fx(x)
x

x
(a) Uni-modal distribution
fx(x)
x
(b) Bi-modal distribution
fx(x)

Comparar a estatística descritiva do total anual de precipitação do posto
pluviométrico de Fortaleza e de Quixeramobim utilizando a planilha Excel.

• Os processos hidrológicos são aleatórios, logo, podem serem inferidos por
uma lei de probabilidade.
• As leis de probabilidade são funções contínuas usadas para a estimativa de
um dado evento hidrológico e precisam ser previamente ajustadas.
• O ajustamento consiste na verificação da representatividade da lei da
probabilidade em relação as frequências de ocorrência do processo hidrológico.

• Calcular o ponto médio de cada classe;
• Frequência absoluta;
• Frequência relativa;
• Frequência relativa acumulada.
.

Função densidade de probabilidade Função distribuição acumulada

P
Tr
1
1P1

Tr
1
P 
PMAX PREC.
O período de Tempo de médio
(medido em anos) em que
determinado evento deve ser
igualado ou superado pelo menos
uma vez
F
Tr
1


• A frequência é o número de vezes que um evento pode se repetir;
• Em hidrologia a frequência de um evento está associada a magnitude do
evento.

• O tempo médio em que um certo valor da variável pode voltar a ocorrer é
denominado tempo de retorno.
• O período de retorno, ou tempo de recorrência, é o inverso da probabilidade
excedente:
)(
1
xXP
T



Distribuição de Frequência acumulada
Onde:
m = ordem do evento;
n = n° de dados.

ordem P(mm) ordem P(mm)
1910 P(1910) 1 Pmáx 1/(n+1) 1 Pmín. 1/(n+1)
1911 P(1911) 2 . 2/(n+1) 2 . 2/(n+1)
1912 P(1912) 3 . 3/(n+1) 3 . 3/(n+1)
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
n P(n) n Pmín. n/(n+1) n Pmáx n/(n+1)
Rol crescente
Ano P (mm) F(X >= x)
Rol decrescente
F(X <= x)
Ver Exemplo

Calcular a função distribuição acumulada da precipitação total anual do posto
de Fortaleza.

O risco de uma obra falhar uma ou mais vezes ao longo de sua vida útil é igual a:
n
T
R 






1
11
Onde:
T = Período de Retorno (em anos);
n = É a vida útil da obra (em anos);
R = É o risco.

1. Calcular o risco de falha durante a vida útil de um bueiro que foi calculado
para um período de retorno de 5 anos, sabendo que a vida útil do mesmo é
de 30 anos.
2. Calcule o risco de falha de uma barragem nos próximos 50 anos sabendo o
vertedouro foi dimensionado para um período de retorno de 1000 anos.

Ajuste gráfico aos pontos das equações de posição de locação ou plotagem
1n
m
)Qq(P m


12,0n
44,0m
)Qq(P



Normal
Gumbel
Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra
N é o tamanho da amostra.

MODIFICAR PARA
PRECIPITAÇÃO EM FORTALEZA
A vazão média tem chance de 10% de ser maior que 27 m3/s em um ano
qualquer ou com risco de 10 anos

Gama 3- Log Pearson
Normal, Log-Normal
Todas as distribuições C=0,4
Todas as distribuições
Gumbel e GEV a=0,44
Ver Naghettini e Pinto(2007-302)

 Precipitações e Vazões Medias
▪ Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias)
▪ Gama
 Máximas
▪ Extremos
✓ Gumbel (Extremo tipo I)
▪ Pearson
✓ Pearson Tipo III
✓ Log Pearson Tipo III (Padrao nos EUA)
▪ Log-Normal

Função Densidade de Probabilidade
Gauss
Gamma
Gumbel







 

2
2
2
)(
2
1
),;(




x
exf





 


 



x
exxf 1
)(
1
),;(
 )(
)(
),;(






x
ex
exf

1. Máxima Verossemelhança
2. Método dos Momentos
3. Método dos L-Momentos (LM)
4. Generalized Maximum Likelihood (GML)

• rth-ordem do produto-momento de X sobre qualquer ponto de referência X =
x0 é definido, para o caso contínuo, como
ao passo que para o caso discreto,
onde E [X] é um operador esperança matematica.
Na prática, os primeiros três momentos (r = 1, 2, 3) são utilizados para descrever
a tendência central, variabilidade e assimetria.
         
r r r
o o x o x
- -
E X x = x x f x dx= x x dF x
 
 
   
   
     
1
K
r r
o k o x k
k=
E X x = x x p x  
  

Dois tipos de produto-momento são comumente utilizados:
- Momentos-bruto: μr'= E [Xr] rth-ordem momento sobre a origem;
- Momentos centrais: μr = E [(X - μx)r] = rth-ordem momento central.
Relações entre os dois tipos de produto-momentos são:
 
0
1
r
i i '
r,i x r ir
i=
= μμ C   0
r
' i
r,ir x r i
i=
μ = μC  
onde Cn,x = coeficiente binomial = n! / (x! (n-x)!)
As principais desvantagens do produto-momentos são:
(1)Estimativa da observação da amostra é sensível à presença de outliers;
(2)A precisão das amostras do produto-momentos se deteriora rapidamente
com o aumento da ordem dos momentos.

• Qui- Quadrado (c2)
• Kolmogorov-Smirnov (KS)
Naghettini e Pinto (2007-pag270-Cap7.4)
Chow et all (1988-pag 367)

• Forma Geral para as funções de frequência (Chow)
• Tipos de Distribuição
– Valores Médios
• Distribuição de Gauss
• Distribuição Gamma
– Valores Extremos
• Gumbel
xkxx 

Fórmula Geral da Função de
Frequencia (Chow)
xTKxx 
Distribuição de Extremos Tipo I: Gumbel







 )]
1
([5772.0
6
Tr
Tr
LNLNKT

)]}
6
5572,0(exp[exp{1
1
TK
Tr




Fórmula Geral da Função de Frequencia (Chow)
Distibuição de Extremos tipo III: Log-Pearson
Probabilidade
de
excedência
xTKxx 
Tr
1
p  )5.00()
1
(
2/1
2






 p
p
LNw
32
2
001308.0189269.0432788.11
10328.0802853.0515517.2
www
ww
wz



      5
3
1
16
3
1
1 432232
kT zkkzkzzkzzK 
 
  snn
xxn
C
n
i
i
s
21
1
3



Coeficiente de assimetriaOnde k = Cs/6

• Altura
• Duração
• Intensidade
• Frequência
- Método California
- Método de Kimbal
n
m
F 
1

n
m
F

Para um dado Tr  Pmax = 100mm
Mas dado 2 chuvas de 100mm qual é a mais perigosa?
(Inundações, romper barragens, etc.)
100mm em 4 horas – 25mm/h
ou
100mm em 1 hora – 100mm/h
Então não é só a altura que interessa mas também a intensidade.
)duração(
)altura(
d
h
i 

0
50
100
150
200
250
0 10 20 30 40 50 60 70
Duração (minutos)
Intensidade(mm/hora)
i (TR=10)
i (TR=20)
1
10
100
1000
1 10 100
Duração (minutos)
Intensidade(mm/hora)
i (TR=10)
i (TR=100)
IDF Fortaleza
Análise das Precipitações no Pluviográfo
5, 10, 15, 30 e 60 minutos e
1,2,4,6,12,18,24 horas
IDF máxima precipitação em Chicago

• Uma curva IDF não é uma evolução temporal da chuva dentro de uma
tempestade.
• Curvas IDF são frequentemente formuladas com a equação de Horner
c
m
T
bD
aT
Di
)(
)(



Em geral, é usual, em Hidrologia, empregar-se equações do tipo:
A equação de Chuva para Fortaleza é
n
m
Bt
KT
i
)( 

61,0
18,0
)8(
99,506


t
Tr
i
Onde:
i = intensidade da chuva;
K, m, B e n são parâmetros a
determinar;
t = duração da chuva;
T = período de retorno em anos.

São Paulo Curitiba Fortaleza
Onde: t = min; Tr = anos, i = mm/h
Para cidades que não tenham suas equações de chuva intensa:
• Outros Métodos: Otto Pfafstetter
Taborga Torrigo
)22(
T7,3462
1,025
0,172
r


t
i )20(
T1239
0,74
0,15
r


t
i
)8(
T99,506
0,61
0,18
r


t
i

Otto Pfafstetter apresenta gráficos em escala bilogarítmica, associando a
altura da precipitação (P) com seu período de retorno (T) e duração ( t ) que
utiliza a seguinte fórmula.
  t.c1log.bt.a. 





 

T
B
TP
onde a, b, e c são valores característicos de cada posto e  e  são função da
duração ( t ).

Chuvas Intensas – Pluviógrafos
• Número limitado de pluviógrafos.
• Notadamente em bacias pequenas.
• Este método prescinde de registros e pluviógrafos, sendo suficiente os
dados obtidos pluviômetros.

Chuvas máximas diárias anuais
observadas em Várzea Alegre
no período de 1913/1972.
Para cada posto do
THIESSEN.
Passo 1. PMAX
para cada ano

Passo 2. Ajustar uma distribuição de probabilidade

Passo 3. PMAX associada a cada Tr (PMAX de 1 dia)
TR = 100 anos, P = 154,4mm
TR = 200 anos, P = 164,7mm
TR = 500 anos, P = 178,2mm
TR = 1000 anos, P = 186,2mm
Passo 4. Precipitação máxima diária na bacia.
Pondera precipitação máxima de cada posto por seu peso no THIESSEN.

Passo 5. Conversão de Pmax(1dia)  Pmax(24h)
P24h = 1,1 P1dia
Passo 6. Conversão de P24h  P1h
a) Isozonas
b) Tabela – Valores de R
P1h = R x P24h

Passo 7. (Caso tenha usado só 1 posto)
Onde:
Pa = precipitação média sobre a bacia;
Po = precipitação no centro de gravidade da bacia, tomada igual a
precipitação em Várzea Alegre;
w = constante que depende do local (0,22 para região NE do Brasil);
A = área da bacia hidrográfica (71,8 km2);
Ao = área base na qual Pa = P0 (Linsley  25km2).
    
Pa
ESPACIAL
oP
PONTUAL MAXMAX PP 









Oo
a
A
A
logW1
P
P
9,0
P
P
o
a


Passo 7. (Continuação)
Passo 8.
Determinação das precipitações intensas para durações entre 1 e 24 horas para
os Tr citados.

Hietogramas de tipos de tempestades típicas

1 quantil 3 quantil2 quantil 4 quantil
Distribuições temporais para as tormentas quartil, associadas à probabilidade de ocorrência.

Onde P é o total de chuva, td é a duração, r é um parâmetro que indica o
tempo em que ocorre a precipitação máxima (0,4-0,5) e im é a intensidade de
chuva máxima.

i) Divide-se a duração da chuva (td) em N intervalos com duração
ii) Para cada intervalo de tempo calcula-se a intensidade média da chuva no
intervalo utilizando-se a IDF
com j variando de 1 até N
iii) Calcula-se o total de chuva em cada intervalo
N
t
t d

 n
m
Btj
KTr
tji

 )(
))1(()()( tjPtjPtjP 

iv) Este é uma sequência em ordem decrescente por construção. Posiciona-se
estes valores no hietograma cabendo ao maior valor a posição central o
segundo maior a sua esquerda, o terceiro maior a sua direita e assim
sucessivamente como mostra a figura ao lado.

The alternating block hyetograph model

Curva de fator de redução de área estabelecida pelo Weather Bureau
Com:
P = chuva média sobre a área A, em mm/h
P0 = chuva no epicentro da tempestade , em mm/h
A = área da bacia em km2
K e m = parâmetros que variam com a duração, para um
certo tipo de tormenta.
m
-kA
oP = P e

    
Pa
ESPACIAL
oP
PONTUAL MAXMAX PP 









Oo
a
A
A
logW1
P
P
Onde:
Pa = precipitação média sobre a bacia;
Po = precipitação no centro de gravidade da bacia, tomada igual a
precipitação em Várzea Alegre;
w = constante que depende do local (0,22 para região NE do Brasil);
A = área da bacia hidrográfica (71,8 km2);
Ao = área base na qual Pa = P0 (Linsley  25km2).
9,0
P
P
o
a


Figura. Comparação entre relações
altura-área para alguns países:
Estados Unidos da América (USA)
para 30 minutos e 1 hora, Inglaterra
(UK) para 30 minutos e 1 hora,
França para 30 minutos, Noruega
(Oslo) para 30 minutos, Iugoslávia
(Zagreb) para 1 hora e Suécia (Lund)
para 30 minutos e 1 hora

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