动态规划法求解0-1背包蓝桥杯
时间: 2025-05-08 14:39:21 浏览: 13
### 动态规划求解0-1背包问题
#### 问题描述
给定不同价值和重量的物品若干件,以及一个承重有限的背包。如何选择这些物品放入背包中使得总价值最高而不超过背包的最大承载量?
#### 解决方案概述
对于0-1背包问题,采用动态规划方法能够有效地解决问题。通过构建二维数组`dp[i][j]`表示从前i个物品中选取若干个装入容量为j的背包可以获得的最大价值[^4]。
#### 状态转移方程
核心在于状态转移方程的设计:
如果当前考虑的是第 i 个物体,并且其体积为 w_i ,价值为 v_i 。那么当 j >= w_i (即有足够的空间容纳该物件)时,
\[ dp[i][j]=\max(dp[i−1][j],dp[i−1][j-w_{i}]+v_{i}) \]
否则(即没有足够的剩余空间放置此物),
\[ dp[i][j]=dp[i−1][j]\]
这里 `dp[i − 1][j]` 表示不选第 i 个物品的情况下所能获得的最大价值;而 `dp[i − 1][j - wi] + vi` 则代表选择了这件商品之后所增加的价值总量。
```python
def knapsack(weights, values, capacity):
n = len(values)
# 创建DP表并初始化
dp = [[0]*(capacity+1) for _ in range(n+1)]
# 构建DP表格
for i in range(1,n+1):
for c in range(capacity+1):
if weights[i-1]<=c:
dp[i][c]= max(dp[i-1][c],values[i-1]+dp[i-1][c-weights[i-1]])
else:
dp[i][c]= dp[i-1][c]
return dp[n][capacity]
```
上述代码实现了基于动态规划原理解决0-1背包问题的方法。其中输入参数分别为各个项目的权重列表、价值列表以及背包的最大载荷量。最终返回的结果就是在这个条件下可以得到的最佳收益值。
#### 复杂度分析
时间复杂度 O(N*W),其中 N 是项目数量,W 是背包容量。这是因为我们需要遍历每一个可能的状态组合来填充 DP 数组。空间复杂度同样也是 O(N * W),因为需要存储整个 DP 表格的数据结构。
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