用 MATTAB 软件完成下面的实验任务。 (1)求y=cosx在x=0处的泰勒展开式: (2) 计算cos1的近似值。为使精度达到10^(-4),需要用多少次多项式近似代替函数 y=cosx?
时间: 2024-04-01 21:33:12 浏览: 164
(1) 求y=cosx在x=0处的泰勒展开式:
由于y=cosx的泰勒展开式为:$$cosx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
因此,在x=0处的泰勒展开式为:$$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$
(2) 计算cos1的近似值。为使精度达到10^(-4),需要用多少次多项式近似代替函数 y=cosx?
根据泰勒展开式,我们可以用多项式来逼近cosx,精度达到10^(-4)时,我们需要保留到第五项,即:
$$cos1\approx 1-\frac{1^2}{2!}+\frac{1^4}{4!}-\frac{1^6}{6!}+\frac{1^8}{8!}$$
计算结果为:
$$cos1\approx 0.5403023059$$
因此,为了使精度达到10^(-4),需要用五次多项式来逼近cosx。
相关问题
用matlab回答以下问题(1)求y=cosx在x=0处的泰勒展开式 (2) 计算cos1的近似值,为使精度达到10+,需要用多少次 多项式近似代替函数y=cosx?
(1) y=cosx在x=0处的泰勒展开式为:
cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...
展开式中每一项的系数为(-1)^n/(2n)!, n为非负整数。
(2) 为使精度达到10+,即小数点后第11位开始有误差,需要用到第n项的余项Rn,满足|Rn| < 10^(-11)。cos(1)的泰勒展开式为:
cos(1) = 1 - 1/2! + 1/4! - 1/6! + ... + (-1)^n/(2n)! + Rn
由于cos(x)在[-1,1]内的二阶导数的绝对值不超过1,因此余项Rn可以用拉格朗日余项公式来估计:
|Rn| <= |f^(n+1)(z)|*|x^(n+1)/(n+1)!|,其中z为x和0之间的某个实数。
因此有:
|Rn| <= 1*1^(n+1)/(n+1)!
令|Rn| < 10^(-11),则有:
1/(n+1)! < 10^(-11)
解得n > 10。因此,为使精度达到10+,需要用至少11次多项式近似代替函数y=cosx。
用matlab回答以下问题(1)求y=cosx在x=0处的泰勒展开式 (2) 计算cos1的近似值,为使精度达到10的负四次方,需要用多少次 多项式近似代替函数y=cosx?
(1) y=cosx在x=0处的泰勒展开式为:
cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...
展开式中每一项的系数为(-1)^n/(2n)!, n为非负整数。
(2) 为使精度达到10的负四次方,即小数点后第5位开始有误差,需要用到第n项的余项Rn,满足|Rn| < 10^(-5)。cos(1)的泰勒展开式为:
cos(1) = 1 - 1/2! + 1/4! - 1/6! + ... + (-1)^n/(2n)! + Rn
由于cos(x)在[-1,1]内的二阶导数的绝对值不超过1,因此余项Rn可以用拉格朗日余项公式来估计:
|Rn| <= |f^(n+1)(z)|*|x^(n+1)/(n+1)!|,其中z为x和0之间的某个实数。
因此有:
|Rn| <= 1*1^(n+1)/(n+1)!
令|Rn| < 10^(-5),则有:
1/(n+1)! < 10^(-5)
解得n > 4。因此,为使精度达到10的负四次方,需要用至少5次多项式近似代替函数y=cosx。
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