X = 1. / (np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis]) y = np.ones(10)

这段代码定义了两个变量X和y。变量X是一个10x10的二维数组，其中每个元素都是两个一维数组相加后取倒数的结果。第一个一维数组是np.arange(1,11)，表示从1到10的整数，第二个一维数组是np.arange(0,10)[:, np.newaxis]，表示从0到9的整数并转换为10x1的二维数组。因此，np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis]的结果是一个10x10的二维数组，其中每行都是1到10的整数加上一个从0到9的整数。由于除以0会报错，因此第一个一维数组中的1会被转换为1.0，从而得到一个浮点数矩阵。最终的结果是一个10x10的浮点数矩阵，其中每个元素都是1除以两个整数之和。变量y是一个长度为10的一维数组，其中每个元素都是1。

def svm_loss(x, y): N = x.shape[0] correct_class_scores = x[np.arange(N), y] margins = np.maximum(0, x - correct_class_scores[:, np.newaxis] + 1.0) margins[np.arange(N), y] = 0 loss = np.sum(margins) / N num_pos = np.sum(margins > 0, axis=1) dx = np.zeros_like(x) dx[margins > 0] = 1 dx[np.arange(N), y] -= num_pos dx /= N return loss, dx def softmax_loss(x, y): probs = np.exp(x - np.max(x, axis=1, keepdims=True)) probs /= np.sum(probs, axis=1, keepdims=True) N = x.shape[0] loss = -np.sum(np.log(probs[np.arange(N), y])) / N dx = probs.copy() dx[np.arange(N), y] -= 1 dx /= N return loss, dx

这是两个常用的损失函数，SVM损失和Softmax损失。它们通常用于多分类问题中，其中$x$是一个矩阵，每一行代表一个样本的得分，$y$是一个向量，表示每个样本的真实标签。 SVM损失函数的实现中，首先计算出正确标签的得分(correct_class_scores)，然后计算出每个样本的margin(间隔)，$margins = max(0, x - correct_class_scores[:, np.newaxis] + 1.0)$。如果margin大于0，则样本被分类错误，贡献到损失函数中。将正确标签的margin设为0，然后将所有margin求和并除以样本个数，得到平均SVM损失。同时，还需要计算出输入$x$的梯度$dx$，$dx$的值为1或0，如果margin>0，则为1，否则为0。对于正确分类的那个类，需要将所有贡献给该类的梯度和减去$dx$中正值的个数，因为每个正值都对该类的梯度有贡献。 Softmax损失函数的实现中，首先将每个样本的得分减去该行得分的最大值，以防止指数爆炸，然后将得分转换成概率。计算交叉熵损失，$loss = -sum(log(probs[range(N), y])) / N$，其中probs是概率矩阵，$probs[i, j]$表示第$i$个样本被分为第$j$个类的概率。最后，计算输入$x$的梯度$dx$，$dx$的值为每个样本的概率减去1，然后除以样本个数。对于正确分类的那个类，由于$y$只有一个元素，因此只需要将对应位置的概率减去1即可。需要注意的是，这里的实现是针对单个样本的输入$x$和输出$dout$，如果使用批量输入，则需要对每个样本进行计算。

cec2017 test function '''F1 function''' def F1(X): Results = np.sum(X2) return Results '''F2 function''' def F2(X): Results = np.sum(np.abs(X)) + np.prod(np.abs(X)) return Results '''F3 function''' def F3(X): dim = X.shape[0] Results = 0 for i in range(dim): Results = Results + np.sum(X[0:i+1])2 return Results '''F4 function''' def F4(X): Results = np.max(np.abs(X)) return Results '''F5 function''' def F5(X): dim = X.shape[0] Results = np.sum(100 * (X[1:dim] - (X[0:dim-1]2))2 + (X[0:dim-1] - 1)2) return Results '''F6 function''' def F6(X): Results = np.sum(np.abs(X + 0.5)2) return Results '''F7 function''' def F7(X): dim = X.shape[0] Temp = np.arange(1, dim+1, 1) Results = np.sum(Temp * (X**4)) + np.random.random() return Results '''F8 function''' def F8(X): Results = np.sum(-X * np.sin(np.sqrt(np.abs(X)))) return Results '''F9 function''' def F9(X): dim = X.shape[0] Results = np.sum(X**2 - 10 * np.cos(2 * np.pi * X)) + 10 * dim return Results '''F10 function''' def F10(X): dim = X.shape[0] Results = -20 * np.exp(-0.2 * np.sqrt(np.sum(X**2) / dim)) - np.exp(np.sum(np.cos(2 * np.pi * X)) / dim) + 20 + np.exp(1) return Results '''F11 function''' def F11(X): dim = X.shape[0] Temp = np.arange(1, dim+1, +1) Results = np.sum(X**2) / 4000 - np.prod(np.cos(X / np.sqrt(Temp))) + 1 return Results what are the mathamatical formulars

### CEC2017 测试函数的数学公式表示 CEC2017测试函数是一组用于评估优化算法性能的标准基准函数集合。这些函数涵盖了单峰、多峰以及复合型函数等多种特性，广泛应用于连续参数优化领域。以下是部分常见CEC2017测试函数的数学表达形式： #### F1: 高斯混合模型 (Shifted and Rotated High Conditioned Elliptic Function) 该函数是一个高条件数椭圆函数，经过平移和旋转处理后的版本[^2]。其定义如下： \[ f_1(x) = \sum_{i=1}^{D} z_i^2, \quad z = T_{asy}(T_{osz}(x - o)) \] 其中 $o$ 是偏移向量，$T_{asy}$ 和 $T_{osz}$ 表示非线性变换操作。 --- #### F2: Bent Cigar 函数 (Shifted and Rotated Bent Cigar Function) Bent Cigar 函数是一种典型的单峰函数，在维度较高时表现出强烈的各向异性特征[^3]。其定义为： \[ f_2(x) = z_1^2 + 10^6\sum_{i=2}^{D} z_i^2, \quad z = T_{rot}(T_{osz}(x - o)) \] 这里同样涉及偏移和平移矩阵的作用。 --- #### F3: Discus 函数 (Shifted and Rotated Discus Function) Discus 函数也被称为片状函数，具有显著的方向依赖性[^4]。其计算方式为： \[ f_3(x) = 10^6z_1^2 + \sum_{i=2}^{D} z_i^2, \quad z = T_{rot}(T_{osz}(x - o)) \] 此函数强调了第一个变量的重要性。 --- #### F4: Rosenbrock's 函数 (Shifted and Rotated Expanded Griewank’s plus Rosenbrock’s Function) Rosenbrock 的扩展版增加了复杂度并引入更多局部极小值点[^5]。具体公式为： \[ f_4(x) = g(z), \quad z = T_{rosen}(T_{osz}(x - o)), \] 其中， \[ g(u) = \sum_{i=1}^{D-1}[100(u_i^2-u_{i+1})^2+(u_i-1)^2]. \] 这种结构使得它成为一种经典的多模态目标函数。 --- #### Python 实现样例下面提供了一个简单的Python实现来展示如何构建上述某些基本组件之一——F1: ```python import numpy as np def shifted_rotated_high_conditioned_elliptic_function(x, dim, shift_vector, rotation_matrix): x_shifted = x - shift_vector[:dim] z = np.dot(rotation_matrix[:, :dim], x_shifted) result = sum([pow(1e6, ((j-1)/(dim-1))) * zi**2 for j, zi in enumerate(z, start=1)]) return result # Example usage with dummy data if __name__ == "__main__": dimensionality = 10 sample_input = np.random.uniform(-100, 100, size=(dimensionality,)) offset_vec = np.array([...]) # Define your own vector here. rot_mat = np.loadtxt('rotation_matrix.txt') # Load from file or define accordingly. output_value = shifted_rotated_high_conditioned_elliptic_function(sample_input, dimensionality, offset_vec, rot_mat) print(f"Output Value: {output_value}") ``` 注意：实际应用中需替换`offset_vec`与`rot_mat`的具体数值或加载预设文件中的数据。

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X = 1. / (np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis]) y = np.ones(10)

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对带噪音的数据进行插值运算： 用命令x = np.arange(0, 2*np.pi+np.pi/4, 2*np.pi/8)， y = np.cos(x) + np.random.randn(9)/10 生成9个点，并进行插值运算。

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