有向图采用邻接矩阵式存储时,有效元素个数
时间: 2023-09-04 16:08:58 浏览: 123
对于有向图的邻接矩阵 $A$,其有效元素个数为 $n^2$,其中 $n$ 为图的顶点数。因为邻接矩阵是一个 $n\times n$ 的二维数组,其中每个元素都表示一条边的权值或者表示两个顶点之间是否有连边。对于有向图来说,矩阵中的每个元素都可以表示两个顶点之间的方向关系,因此有效元素个数为 $n^2$。
相关问题
有向图采用邻接矩阵式存储时,有效元素个数等于图中边的个数
对于有向图的邻接矩阵 $A$,其有效元素个数为 $n^2$,其中 $n$ 为图的顶点数。每个元素都可以表示一个顶点到另一个顶点的方向关系,如果图中存在一条从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的边,那么邻接矩阵 $A_{i,j}$ 的值为 1,否则为 0。因此,邻接矩阵中值为 1 的元素的个数就等于图中边的个数。所以,有向图采用邻接矩阵式存储时,有效元素个数等于图中边的个数。
已知无向图邻接矩阵判断树
### 如何根据无向图的邻接矩阵确定图形是不是树结构
为了判断一个给定的无向图是否为一棵树,可以依据几个关键性质来进行验证:
1. **连通性**:整个图必须是连通的。这意味着对于任意两个节点之间都存在路径相连。
2. **边的数量**:如果图中有 \(n\) 个顶点,则作为树它应该恰好拥有 \(n-1\) 条边[^1]。
3. **不存在环路**:任何一对不同的结点间仅有唯一的一条简单路径连接它们;换句话说,在这棵树里不应该有任何形式的循环回路。
具体到基于邻接矩阵表示的方法上,可以通过以下步骤完成检验:
#### 步骤说明
- 初始化访问标记数组 `visited[]` 和计数器变量用于记录遍历过程中遇到的有效边数目。
- 使用深度优先搜索 (DFS) 或广度优先搜索 (BFS),从任选的一个起点出发尝试访问所有可达节点,并同步更新已处理过的边总数。
- 如果最终能够成功触及全部 \(n\) 个定点而累计发现正好 \(n-1\) 条有效边,则证明此图为一颗合法的树形结构;反之则不是。
下面给出一段 Python 实现代码片段展示上述逻辑:
```python
def is_tree(adj_matrix):
num_vertices = len(adj_matrix)
visited = [False] * num_vertices
edge_count = [-1]
def dfs(v, parent=-1):
visited[v] = True
for u in range(num_vertices):
if adj_matrix[v][u]:
if not visited[u]:
edge_count[0] += 1
dfs(u, v)
elif u != parent:
return False
return True
start_vertex = 0
result = dfs(start_vertex)
all_visited = all(visited)
correct_edges = edge_count[0] == num_vertices - 1
return result and all_visited and correct_edges
```
这段程序定义了一个辅助函数 `dfs()` 进行递归式的深搜操作,同时利用外部列表 `edge_count` 记录实际存在的边数。主调用部分负责启动 DFS 并检查最后的结果状态以决定返回值。
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