均值滤波和中值滤波的数学公式

### 均值滤波和中值滤波的数学公式及其在图像处理中的应用 #### 均值滤波 均值滤波是一种线性滤波方法，其核心思想是利用像素邻域内所有像素值的平均值替换当前像素值。设 $ f(x, y) $ 表示输入图像的一个像素值，$ g(x, y) $ 是经过均值滤波后的输出图像对应的像素值，则均值滤波的数学表达式如下： $$ g(x, y) = \frac{1}{mn} \sum_{i=-a}^{a} \sum_{j=-b}^{b} f(x+i, y+j) $$ 其中： - $ m = 2a+1 $ 和 $ n = 2b+1 $ 分别表示滤波器的高度和宽度； - 邻域范围由 $ i $ 和 $ j $ 定义，通常为奇数尺寸（如 $ 3 \times 3 $ 或 $ 5 \times 5 $）[^1]。 在实际应用中，均值滤波常用于减少随机噪声并平滑图像。然而，由于它是基于平均化的操作，因此容易导致图像细节模糊，尤其是在边缘区域。 #### 中值滤波 中值滤波是一种非线性滤波技术，主要用于去除脉冲噪声（椒盐噪声）。与均值滤波不同的是，中值滤波并不计算邻域内像素值的平均值，而是选取这些像素值的中位数值作为新像素值。设 $ S_{xy} $ 表示以 $ (x, y) $ 为中心的邻域窗口内的所有像素值集合，则中值滤波的结果可表示为： $$ g(x, y) = \text{Median}\left(S_{xy}\right) $$ 其中： - $ S_{xy} = \{f(x-i, y-j)\ |\ -a \leq i \leq a,\ -b \leq j \leq b\} $ - $\text{Median}$ 函数返回集合 $ S_{xy} $ 的中位数[^2]。 相比均值滤波，中值滤波能够在有效抑制噪声的同时更好地保持图像的边缘和其他重要特征。 --- #### 图像处理中的应用实例 ##### 使用OpenCV实现均值滤波 以下是一个使用OpenCV库执行均值滤波的例子： ```python import cv2 import numpy as np # 加载图像 image = cv2.imread('input_image.jpg') # 应用均值滤波 blurred_image = cv2.blur(image, (5, 5)) # 参数(5, 5)指定滤波器大小 # 显示结果 cv2.imshow('Original Image', image) cv2.imshow('Blurred Image', blurred_image) cv2.waitKey(0) cv2.destroyAllWindows() ``` 此处 `cv2.blur` 方法实现了均值滤波的功能，参数 `(5, 5)` 指定了滤波器的大小为 $ 5 \times 5 $[^3]。 ##### 使用OpenCV实现中值滤波 同样地，下面展示了如何通过OpenCV实现中值滤波： ```python import cv2 import numpy as np # 加载图像 image = cv2.imread('input_image.jpg') # 应用中值滤波 median_filtered_image = cv2.medianBlur(image, 5) # 参数5指定了滤波器直径 # 显示结果 cv2.imshow('Original Image', image) cv2.imshow('Median Filtered Image', median_filtered_image) cv2.waitKey(0) cv2.destroyAllWindows() ``` 在此代码片段中，`cv2.medianBlur` 方法完成了中值滤波的操作，参数 `5` 表明使用的滤波器直径为 5[^3]。 --- ### 性能比较 | 特性 | 均值滤波 | 中值滤波 | |-----------------|-----------------------------------|-------------------------------| | **适用场景** | 平滑高斯噪声 | 抑制椒盐噪声 | | **对细节的影响** | 可能导致边缘模糊 | 较好地保留边缘 | | **计算复杂度** | 较低 | 较高 | 尽管两种滤波器各有优劣，但在实际应用中可以根据具体的噪声类型和需求选择合适的滤波策略。 ---