20将f(x)=sin1/x在[-1,1]上按Legendre 多项式及Chebyshev多项式展开, 平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差,用matlab语言
时间: 2024-12-20 10:24:56 浏览: 51
在MATLAB中,你可以使用`legendre`函数生成Legendre多项式系列,以及`chebfun`和`chebpts`函数来生成Chebyshev多项式的节点。对于给定的函数`f(x) = \sin(1/x)`,在区间`[-1, 1]`上,你需要做的是:
1. **Legendre多项式展开**:
使用`polyvalm`函数结合`legendre`系列来近似`f(x)`,例如:
```matlab
n = 20; % 指定多项式的阶数
x_legendre = -1:1/n:1; % Legendre多项式插值点
p = legendre(n); % 获取Legendre系数
y_legendre = polyval(p, x_legendre);
```
2. **Chebyshev多项式展开**:
Chebyshev多项式通常用于等间距的节点,可以这样计算:
```matlab
x_chebyshev = chebpts(n+1); % Chebyshev节点
c_chebyshev = pchip(f, x_chebyshev); % PCHIP插值法计算系数
y_chebyshev = chebfun(c_chebyshev, [-1, 1]);
```
3. **绘制误差图**:
比较原函数和近似函数的差值:
```matlab
error_legendre = abs(y_legendre - sin(1./x_legendre));
error_chebyshev = abs(y_chebyshev - f(x_chebyshev));
plot(x_legendre, error_legendre, 'r', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Legendre');
hold on;
plot(x_chebyshev, error_chebyshev, 'g', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Chebyshev');
legend('show');
```
4. **计算均方误差**:
```matlab
mse_legendre = mean(error_legendre.^2);
mse_chebyshev = mean(error_chebyshev.^2);
```
5. **显示结果**:
最后,记得保存图像和输出误差。
```matlab
saveas(gcf, 'error_plot.png'); % 保存误差图
disp(['Mean Square Error (Legendre): ', num2str(mse_legendre)]);
disp(['Mean Square Error (Chebyshev): ', num2str(mse_chebyshev)]);
```
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