You are given a permutation† a of length n . Find any permutation b of length n such that a1+b1≤a2+b2≤a3+b3≤…≤an+bn . It can be proven that a permutation b that satisfies the condition above always exists. † A permutation of length n is an array consisting of n distinct integers from 1 to n in arbitrary order. For example, [2,3,1,5,4] is a permutation, but [1,2,2] is not a permutation (2 appears twice in the array), and [1,3,4] is also not a permutation (n=3 but there is 4 in the array). Input Each test contains multiple test cases. The first line of input contains a single integer t (1≤t≤2000 ) — the number of test cases. The description of test cases follows. The first line of each test case contains a single integer n (1≤n≤100 ) — the length of permutations a and b . The second line of each test case contains n distinct integers a1,a2,…,an (1≤ai≤n ) — the elements of permutation a . All elements of a are distinct. Note that there is no bound on the sum of n over all test cases. Output For each test case, output any permutation b which satisfies the constraints mentioned in the statement. It can be proven that a permutation b that satisfies the condition above always exists.
时间: 2024-02-02 20:02:26 浏览: 255
题目翻译:
给定一个长度为 n 的排列 a,找到任意一个长度为 n 的排列 b,使得 a1+b1≤a2+b2≤a3+b3≤…≤an+bn。可以证明,满足上述条件的排列 b 总是存在的。
输入:
第一行输入一个整数 t,表示测试数据组数。
接下来 t 行,每行描述一个测试数据,格式如下:
第一行输入一个整数 n,表示排列 a 和 b 的长度。
第二行输入 n 个不同的整数,表示排列 a。
输出:
对于每组测试数据,输出任意一个满足条件的排列 b。
思路分析:
首先将 b 排列按照升序排序,然后再根据 a 排列和 b 排列的位置关系,交替填充到最终的排列中。
具体实现步骤如下:
1. 将 b 排列按照升序排序。
2. 从 a 排列的最小值开始,将 a 和 b 的元素依次比较,如果 a 的元素小于等于 b 的元素,则将 a 的元素放入最终排列中,否则将 b 的元素放入最终排列中。
3. 重复步骤 2 直到 a 和 b 的所有元素都被处理完毕。
代码实现:
相关问题
c++写出下面代码 You are given a permutation a of length n. Find any permutation b of length n such that a1+b1≤a2+b2≤a3+b3≤…≤an+bn. It can be proven that a permutation b that satisfies the condition above always exists. †A permutation of length n is an array consisting of n distinct integers from 1 to n in arbitrary order. For example, [2,3,1,5,4] is a permutation, but [1,2,2] is not a permutation (2 appears twice in the array), and [1,3,4] is also not a permutation (n=3 but there is 4 in the array). Input Each test contains multiple test cases. The first line of input contains a single integer t(1≤t≤2000) — the number of test cases. The description of test cases follows. The first line of each test case contains a single integer n (1≤n≤100) — the length of permutations a and b. The second line of each test case contains n distinct integers a1,a2,…,an(1≤ai≤n ) — the elements of permutation a. All elements of a are distinct. Note that there is no bound on the sum of n over all test cases. Output For each test case, output any permutation b which satisfies the constraints mentioned in the statement. It can be proven that a permutation b that satisfies the condition above always exists. Example input 5 5 1 2 4 5 3 2 1 2 1 1 3 3 2 1 4 1 4 3 2 output 1 2 4 3 5 2 1 1 1 2 3 1 2 3 4 Note In the first test case a=[1,2,4,5,3] . Then the permutation b=[1,2,4,3,5] satisfies the condition because 1+1≤2+2≤4+4≤5+3≤3+5.
以下是你要的代码:
```c++
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 105;
int a[MAXN], b[MAXN];
int main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
sort(a, a + n);
int l = 0, r = n - 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i % 2 == 0) {
b[i] = a[l];
l++;
} else {
b[i] = a[r];
r--;
}
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << b[i] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
```
思路:首先将原排列 a 排序,然后将排序后的元素分成两部分,分别从前往后和从后往前取,这样可以保证 b 满足题目要求。
Tokitsukaze has a permutation p of length n . Recall that a permutation p of length n is a sequence p1,p2,…,pn consisting of n distinct integers, each of which from 1 to n (1≤pi≤n ). She wants to know how many different indices tuples [a,b,c,d] (1≤a<b<c<d≤n ) in this permutation satisfy the following two inequalities: pa<pc and pb>pd . Note that two tuples [a1,b1,c1,d1] and [a2,b2,c2,d2] are considered to be different if a1≠a2 or b1≠b2 or c1≠c2 or d1≠d2 . Input The first line contains one integer t (1≤t≤1000 ) — the number of test cases. Each test case consists of two lines. The first line contains a single integer n (4≤n≤5000 ) — the length of permutation p . The second line contains n integers p1,p2,…,pn (1≤pi≤n ) — the permutation p . It is guaranteed that the sum of n over all test cases does not exceed 5000 .c++code
<think>嗯,我现在得解决这个问题。题目是说,给一个排列p,找出满足条件[a,b,c,d]四元组的数量。条件是a < b < c < d,同时满足pa < pc 且 pb > pd。这个问题看起来有点挑战性,我得仔细想想怎么高效地计算符合条件的四元组数目。
首先,我得理解问题。排列中的每个元素都是唯一的,所以不会有重复的值。四元组的四个索引必须严格递增,即a < b < c < d。然后,要满足pa < pc和pb > pd。我需要找到所有这样的四元组的数量。
直接暴力的方法是枚举所有可能的a、b、c、d,然后检查条件。不过这样的话,时间复杂度会是O(n^4),当n到5000的时候,这显然是不行的。因为n=5000的话,n^4是大约6e17次运算,完全无法处理。所以必须想更高效的方法。
那有没有办法通过预处理或者分解问题来减少复杂度呢?比如,固定某些中间的两个点,然后计算前后可能的组合数?
例如,考虑中间的两个位置是b和c,或者b和d?或者别的组合?
题目中的两个条件pa < pc和pb > pd,可能需要将这两个条件分开考虑,或者找到它们之间的联系。
另一个思路是,对于每个可能的b和c的组合(其中b < c),然后计算满足a < b且pa < pc的a的数量,以及满足d > c且pb > pd的d的数量,然后将这两个数相乘,得到对于这个b和c的所有可能的四元组数目。然后将所有b和c的组合情况累加起来。
这可能是一个可行的方法。因为如果固定b和c,那么a必须属于1到b-1,d必须属于c+1到n。然后,对于每个这样的a,检查pa是否小于pc;对于每个d,检查pb是否大于pd。然后这两部分的数目相乘,就是对于当前b和c的四元组数目。
这样的话,总的时间复杂度是O(n^2)乘以每个b和c的处理时间。假设预处理可以在O(1)时间内得到每个b和c对应的a的数量和d的数量,那么总的时间复杂度是O(n^2),这应该可以处理n=5000的情况,因为5000^2是25,000,000,应该是可以接受的。
那现在的问题转化为,如何高效地预处理每个可能的b和c对应的满足条件的a的数量和d的数量。
对于每个c来说,我们可以预处理每个可能的b(b < c),然后计算有多少a < b使得pa < pc。这部分可以预先处理吗?
或者,对于每个c,我们可以提前记录每个位置左边的各个位置的pa值。比如,对于每个c,可以预处理一个数组left[c][b],表示在位置b的左边(即a < b)有多少个a满足pa < pc。这里,b的取值范围是1到c-1,而c的取值范围是1到n。
同样的,对于每个b,我们可以预处理一个数组right[b][c],表示在位置c的右边(即d > c)有多少个d满足pd < pb。因为pb是固定的,对于每个b来说,我们需要统计在d > c的情况下pd < pb的数量。或者,可能这里需要更仔细的处理。
或者,我们可以这样想:
对于每个可能的b和c(其中b < c),我们需要计算:
- a的数目:在a < b的位置中,pa < pc的数量。这可以看作对于每个c,预先计算对于每个可能的b(b < c),有多少个a在[1, b-1]范围内满足pa < pc。
- d的数目:在d > c的位置中,pd < pb的数量。因为pb是已知的,所以对于每个b,我们可以预先统计在某个c的右边(d >c)有多少个d满足pd < pb。
或者,可能需要另一个预处理方式。例如,对于每个b,预处理一个数组,记录在位置d > c时,pd的值是否小于pb。但这样可能无法直接使用,因为c的位置会影响d的选择范围。
或者,可以换个角度。当固定了b和c之后,d必须满足d > c,并且pd < pb。所以,对于每个b,我们可以预处理一个数组,统计从某个位置开始(比如从c+1到n)有多少个d满足pd < pb。这样,当处理到某个c时,对于b来说,d的范围是c+1到n,所以需要知道在这个区间内有多少个pd < pb。
这个预处理可能需要二维数组,比如right[b][k],表示从位置k到n中,有多少个d满足pd < pb。这样,对于给定的b和c,d的数量就是right[b][c+1]。这样,预处理每个b的前缀和或者后缀和。
同样的,对于a的条件,固定c后,需要找出在a < b的位置中,有多少个pa < pc。这可以预处理为left[c][b],表示在a < b的范围内,pa < pc的数目。这时候,对于每个c,可以预处理每个b的left[c][b]。
现在的问题是,如何高效地预处理这两个数组。
对于left[c][b]:对于每个c,遍历所有可能的b(b的范围是1到c-1),然后统计在a < b时,pa < pc的数量。这可以在预处理时,对于每个c,维护一个前缀数组。例如,对于每个c,我们可以从左到右遍历b,并维护一个计数器,记录有多少个a在b之前(即a < b)满足pa < pc。这可能可以用一个前缀和数组来实现。比如,pre_left[c]是一个数组,pre_left[c][b]表示从a=1到a=b-1,满足pa < pc的数目。这样,当处理到c的时候,可以遍历每个b从1到c-1,并计算pre_left[c][b]的值。这可能需要O(n^2)的时间,因为对于每个c,遍历b到c-1,每个c的复杂度是O(n),总共有n个c,所以总的时间复杂度是O(n^2)。这可能可行,因为n=5000的话,5000^2是25e6,可以接受。
同样,对于right[b][c]:对于每个b,预处理每个c >= b+1的位置,统计在d > c时,有多少个d满足pd < pb。或者,可能更合适的预处理方式是,对于每个b,预处理一个后缀数组,表示从某个位置到n之间有多少个pd < pb。例如,right_suffix[b][k]表示从位置k到n中,pd < pb的数量。这样,当给定c时,d的范围是c+1到n,所以right_suffix[b][c+1]就是对应的数目。这个预处理同样可以通过对每个b,从后往前遍历,统计满足条件的数目,并存储到right_suffix数组中。预处理的时间复杂度也是O(n^2)。
一旦这两个预处理数组pre_left和right_suffix准备好,那么对于每个可能的b和c(其中b < c),我们可以得到对应的a的数量是pre_left[c][b],而d的数量是right_suffix[b][c+1]。然后将这两个数相乘,得到所有以b和c为中间两个点的四元组数目。然后将所有这些数目相加,总和就是最终的答案。
那么,整体的步骤应该是:
1. 预处理pre_left数组:对于每个c,计算pre_left[c][b],其中b的取值范围是1到c-1。pre_left[c][b]表示在a < b时,pa < pc的数目。
如何计算pre_left[c][b]?
可以对于每个c,初始化一个数组cnt,初始化为0。然后遍历b从1到n。当处理b的时候,如果b < c,那么判断p[b]是否小于p[c]。如果是,就将cnt增加1。pre_left[c][b]的值就是当前的cnt。但这样可能有问题,因为对于不同的c,每个b的处理方式不同。或者,对于每个c,我们遍历b从1到c-1,并在每个步骤中统计前面有多少个a满足pa < pc。
例如,对于每个c,pre_left[c][b] 的值为从a=1到a=b-1中满足pa < pc的数目。那么,我们可以按如下方式处理:
对于每个c,初始化一个计数器count=0。然后,遍历b从1到c-1:
pre_left[c][b] = count的值,此时count是a < b的数目。然后,当处理到b时,如果当前的p[b] < p[c],那么当后续的b' >b时,这个a=b会被包含进去吗?或者,这个计数是累计的?
可能更正确的方式是,对于每个c,从左到右遍历b从1到n。对于每个b,如果b < c,则pre_left[c][b]等于在a < b的位置中满足pa < pc的数量。这时候,可以用一个循环,每个c的处理如下:
pre_left[c]是一个数组,大小为n+1。初始化为0。
count = 0;
for (int b=1; b <= c-1; b++) {
if (p[b] < p[c]) {
count++;
}
pre_left[c][b] = count;
}
这样,pre_left[c][b]的值就是当a的取值范围是1到b时,满足pa < pc的数目。例如,当b=3时,pre_left[c][3]就是a=1、2、3中的满足条件的数目?或者这里可能有一个错误。比如,对于b来说,a的取值范围是1到b-1。比如,当b=1的时候,没有a的可能。所以,正确的处理应该是在每个b的循环中,pre_left[c][b] 的值是当b的位置时,a可以取到1到b-1中的数目。
所以,正确的处理应该是:
对于每个c:
初始化count=0;
pre_left[c][0] =0;
for (int b=1; b < c; b++) {
// 处理a的取值范围是1到b-1。所以,当b=1时,a只能是0个,所以pre_left[c][1] =0.
// 在b循环中,每次处理的是当b增加时,当前p[b]是否小于pc,从而影响后面的pre_left的值。
// 例如,当b=2的时候,a的取值范围是1到1。此时,pre_left[c][2]等于count的值,即前面所有b' <2的满足条件的情况?
// 所以,正确的处理是,当处理到b时,pre_left[c][b]的值是count的值,然后判断p[b]是否小于pc,如果是,则count加一。
// 这样,对于下一个b+1,pre_left[c][b+1]的初始值是count的当前值,也就是在b之前的满足条件的数目。
// 所以,pre_left[c][b] = count的值,即当a的取值范围是1到b-1时,满足条件的数目。
pre_left[c][b] = count;
if (p[b] < p[c]) {
count++;
}
}
这样,当b遍历到c-1时,pre_left[c][b]的值是a从1到b-1的数目。例如,当c=4,b=3时,pre_left[4][3]是a=1和2的数目。然后,如果p[3] < p[4],则count会增加。
这样,对于每个c来说,pre_left[c][b] 的值是正确的。
例如,假设c=5,p[5]=10。当处理b=3时,pre_left[5][3]的值是a=1、2中的满足条件的数目。然后判断p[3]是否小于10,如果是,count加一。这个count的值将用于下一个b的pre_left的值。
这样处理的话,pre_left数组的预处理复杂度是O(n^2)。
接下来是预处理right_suffix数组。right_suffix[b][k]表示从位置k到n中,满足pd < pb的数目。例如,当给定b和c时,d必须大于c,所以k=c+1。right_suffix[b][k]的值就是满足条件的d的数量。
如何预处理这个数组?
可以对于每个b,从n到1的方向处理,维护一个数组,记录每个位置k到n的满足条件的数目。
具体来说,对于每个b,我们初始化一个数组right_suffix[b],长度为n+2(因为k的范围是1到n+1)。
初始化right_suffix[b][n+1] =0;
然后,从k=n downto 1:
right_suffix[b][k] = right_suffix[b][k+1] + (p[k] < p[b] ? 1 : 0);
这样,对于每个位置k,right_suffix[b][k]等于k到n中满足pd < pb的数量。
这样预处理的时间复杂度也是O(n^2)。
一旦这两个预处理完成,那么对于每个四元组中的可能的b和c(b < c),其贡献的数目是pre_left[c][b] * right_suffix[b][c+1]。然后将所有可能的b和c的组合的贡献相加,得到总和。
现在的问题是如何枚举b和c的可能组合。因为a必须小于b,c必须大于b,而d必须大于c。因此,b必须小于c。所以,b和c的可能取值范围是1 <= b < c <=n。然后,对于每个这样的b和c,计算贡献。
但是,题目中的四元组要求是a < b < c < d。所以,在四元组中,a <b,b <c, c <d。所以,b可以是任何介于a和c之间的位置,但这里的处理方式已经将b和c固定,所以只要枚举所有满足b < c的情况,然后确保在计算a的时候,a <b,并且d >c即可。
因此,正确的枚举方式是遍历所有可能的b和c,其中b < c。然后,对于每个这样的b和c,计算pre_left[c][b](即a的数目)乘以 right_suffix[b][c+1](即d的数目),并将结果累加。
那这样的时间复杂度是O(n^2),这应该可以在时间限制内完成。
现在需要考虑边界情况。例如,当c=4时,c+1=5,如果n=4的话,那么d必须大于4,所以没有可能的d。此时right_suffix[b][5]的值是0。这样,乘的时候,贡献就是0,所以不影响总和。
同样的,当b=1时,a的数目是pre_left[c][1]的值。根据之前的预处理,pre_left[c][1]等于0,因为a必须小于1,即a只能是0,所以数目为0。因此,这种情况会被自动处理。
现在,如何实现这个预处理?
在代码中,可以这样实现:
预处理pre_left:
pre_left是一个二维数组,大小为n+1(c的范围是1到n)乘n+1(b的范围是1到n)。
对于每个c,从1到n:
count =0;
pre_left[c][0] =0;
for (b=1; b < c; b++){
pre_left[c][b] = count;
if (p[b] < p[c]) {
count++;
}
}
或者,在代码中,可以使用动态数组,比如用vector<vector<int>> pre_left(n+1, vector<int>(n+1, 0))。但n是5000的话,这样的二维数组需要5000*5000=25e6的存储空间,这在C++中是可行的。
预处理right_suffix:
right_suffix也是一个二维数组,大小为n+1(b的范围是1到n)乘n+2(k的范围是1到n+1)。
对于每个b,从1到n:
right_suffix[b][n+1] =0;
for (int k=n; k >=1; k--){
right_suffix[b][k] = right_suffix[b][k+1] + (p[k] < p[b] ? 1 : 0);
}
然后,枚举所有的b和c,其中b <c:
long long ans =0;
for (int c=1; c <=n; c++){
for (int b=1; b <c; b++){
int a_count = pre_left[c][b];
int d_count = right_suffix[b][c+1];
ans += a_count * d_count;
}
}
这样就得到了最终的结果。
现在,测试一下这个方法是否正确。例如,考虑一个小例子:
假设n=4,排列是[1,3,2,4]。
那么,满足条件的四元组有哪些?
可能的四元组是[a,b,c,d],其中a <b <c <d。需要满足pa < pc且 pb > pd。
例如,假设a=1,b=2,c=3,d=4:
pa=1,pc=2 → 1<2成立。pb=3,pd=4 →3>4不成立。所以这个组合不满足。
另一个可能的四元组是a=1,b=3,c=4,d=不存在,因为d必须>4,但n=4,所以不可能。
或者,可能还有其他组合。例如,假设排列是[2,4,1,3]。此时,可能有一些符合条件的四元组。
例如,考虑n=5,排列是5,3,1,2,4。这时候,可能有符合条件的四元组吗?
或者,先举一个更简单的例子。比如,当n=4,排列是[2,4,1,3]。要找到所有可能的四元组。
四元组的条件是a <b <c <d,所以可能的四元组只能是 [1,2,3,4]。这里,a=1,b=2,c=3,d=4。检查条件:
pa=2 < pc=1? 不成立。所以不满足条件。所以这个四元组无效。
另一个可能的排列是[1,4,2,3]。此时,四元组只能是[1,2,3,4]。检查条件:
pa=1 < pc=2 →成立。 pb=4 > pd=3 →成立。所以这个四元组是有效的。因此,答案是1。
现在用代码来验证:
预处理pre_left:
对于c=3(pc=2):
pre_left[3][b] for b from 1 to 2.
当处理c=3:
b=1: pre_left[3][1] =0(因为count初始为0)。然后判断p[1]=1 <2,所以count增加到1。
b=2: pre_left[3][2] =count的当前值1。此时,判断p[2]=4 <2?不成立。count保持1.
所以pre_left[3][2] =1。这表示当c=3,b=2时,a的数目是1。因为a必须小于b=2,所以a只能是1。此时,pa=1 < pc=2,所以正确。
right_suffix[b=2][c+1=4]:即当b=2,k=4。因为p[4]=3 < p[2]=4 →是。所以right_suffix[2][4] =1(因为k=4到4,只有一个元素3,符合条件)。
所以,当c=3,b=2时,贡献为1*1=1。同时,其他可能的b和c的组合是否还有?
例如,考虑c=4,b=2:
pre_left[4][b=2] =在c=4时,pa < p[4]=3的条件。p[4]是3。所以,当b=2时,a必须是<2的位置,即a=1。判断p[1]=1 <3,是的。所以pre_left[4][2] =1。然后,right_suffix[b=2][c+1=5]即k=5的位置,此时right_suffix[2][5] =0。所以贡献是1*0=0。
可能还有其他组合,比如当c=3,b=2的情况下贡献了1。所以总和是1,与实际例子中的正确结果一致。
这说明代码是正确的。
现在,需要考虑代码的编写。在C++中,需要注意数组的索引是否正确。例如,排列p的索引是否从1开始?题目中给出的输入是p1,p2,…,pn,所以代码中的数组应该从1开始存储。
此外,要注意数据范围,答案可能很大,需要用long long类型来存储总和。
现在,编写代码的大致步骤:
读取t个测试用例。对于每个测试用例:
读取n和p数组(假设p的索引是1-based)。
预处理pre_left数组:
pre_left是一个二维数组,pre_left[c][b] 表示对于c来说,当b是某个值时,a的数目。
预处理right_suffix数组:
right_suffix是一个二维数组,right_suffix[b][k]表示对于b来说,从k到n满足pd < pb的数目。
计算总和ans:
遍历每个c和每个b <c,ans += pre_left[c][b] * right_suffix[b][c+1].
然后输出ans.
这样应该可以得到正确的结果。
现在,测试代码的时间复杂度。例如,对于每个测试用例,预处理pre_left和right_suffix各需要O(n^2)时间,然后枚举所有b和c的组合需要O(n^2)时间。所以总的时间复杂度是O(n^2)。对于n=5000,每个测试用例的处理时间是大约3*5000^2=75e6操作,这在C++中应该可以处理,因为每秒大约可以处理1e8次操作。
但是,当t=1000,且每个测试用例的n=5,那么总的时间是1000*(3*25) =75000,这也没问题。但题目中给出的约束是,所有测试用例的n的总和不超过5000。例如,如果有1000个测试用例,每个n=5,总和是5000。这时候,总的时间是3*(5000)^2=75e6,这没问题。所以这样的算法是可行的。
现在,编写代码的具体实现:
在C++中,使用vector来存储pre_left和right_suffix可能效率不高,因为5000x5000的数组会占用较多内存,但可以使用二维数组或者动态数组。或者,可以用二维数组,因为n最多是5000,所以每个测试用例可以动态分配。
例如,每个测试用例的处理步骤:
int n;
cin >>n;
vector<int> p(n+1); // p[1..n]
for(int i=1; i<=n; i++) cin >>p[i];
然后,预处理pre_left:
vector<vector<int>> pre_left(n+2, vector<int>(n+2, 0));
for(int c=1; c <=n; c++){
int count=0;
for(int b=1; b <c; b++){
pre_left[c][b] = count;
if(p[b] < p[c]){
count++;
}
}
}
预处理right_suffix:
vector<vector<int>> right_suffix(n+2, vector<int>(n+2, 0));
for(int b=1; b <=n; b++){
right_suffix[b][n+1] =0;
for(int k=n; k >=1; k--){
right_suffix[b][k] = right_suffix[b][k+1] + (p[k] < p[b] ? 1 : 0);
}
}
然后计算ans:
long long ans =0;
for(int c=1; c <=n; c++){
for(int b=1; b <c; b++){
int a_count = pre_left[c][b];
int d_count = right_suffix[b][c+1];
ans += (long long)a_count * d_count;
}
}
cout <<ans <<endl;
这应该可以解决问题。
现在,测试这个代码是否正确。例如,前面的例子:
测试用例:
1
4
1 4 2 3
根据之前的分析,正确的答案是1。现在,代码运行时的处理:
pre_left[c=3][b=2]的情况:
p[3]=2.
当处理c=3:
b从1到2.
b=1: pre_left[3][1] =0. 检查p[1]=1 <2 →count变为1.
b=2: pre_left[3][2] =count的值1。此时,p[2]=4>2,不增加count.
所以pre_left[3][2] =1.
right_suffix[b=2][c+1=3+1=4]。其中,b=2的p[b]=4.
right_suffix[2][4]等于从位置4到n=4中,p[4]=3 <4的数量,即1.
所以贡献是1*1=1.
其他可能的b和c的组合是否有贡献?
比如,c=4,b=3:
pre_left[4][3] 的值。此时c=4,p[4]=3.
在b=3时,遍历到b=3,但c=4,所以b <c成立。
pre_left[4][3]等于之前的count的值。在处理c=4时,b的范围是1到3.
b=1:判断p[1]=1 <3 →count变为1.
b=2:判断p[2]=4 <3 →不,count保持1.
pre_left[4][2] =1.
b=3: pre_left[4][3] =count的值是1(因为之前的处理是,在b=3之前的count是1?或者需要仔细看循环的处理。
预处理c=4时,循环b从1到3.
初始count=0.
当b=1:
pre_left[4][1] =0.
p[1]=1 <3 →count变为1.
b=2:
pre_left[4][2] =1.
p[2]=4 <3?不 →count保持1.
b=3:
pre_left[4][3] =1.
p[3]=2 <3 →count变为2.
所以pre_left[4][3] =1.
此时,right_suffix[b=3][c+1=4+1=5] →k=5不存在,所以right_suffix[3][5]=0.
所以贡献是1*0=0.
所以,这个四元组的贡献为0.
其他可能的组合:
比如,c=4,b=2:
pre_left[4][2] =1.
p[4]=3的条件是,在b=2的情况下,a可以取1到1的位置。此时,pa=1 <3,所以数目是1。pre_left[4][2] =1.
right_suffix[b=2][c+1=5] →k=5,返回0。所以贡献是1*0=0.
所以,只有c=3,b=2的情况下贡献1,总和是1,正确。
这说明代码是正确的。
因此,最终的代码应该能够正确处理问题。</think>要解决这个问题,我们需要找到满足特定条件的四元组 [a, b, c, d] 的数量,其中 a < b < c < d,并且满足 pa < pc 和 pb > pd。直接枚举所有可能的四元组会导致无法接受的时间复杂度,因此我们需要优化算法。
### 方法思路
1. **预处理左侧信息**:对于每个位置 c,预处理每个位置 b < c 的左侧满足 pa < pc 的数量。
2. **预处理右侧信息**:对于每个位置 b,预处理每个位置 c 的右侧满足 pd < pb 的数量。
3. **组合结果**:对于每个可能的 (b, c) 组合,计算满足条件的左侧和右侧数量的乘积,并累加所有结果。
### 解决代码
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int t;
cin >> t;
while (t--) {
int n;
cin >> n;
vector<int> p(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> p[i];
}
// 预处理pre_left[c][b],表示对于c来说,a在1..b-1中有多少满足pa < pc
vector<vector<int>> pre_left(n + 2, vector<int>(n + 2, 0));
for (int c = 1; c <= n; ++c) {
int count = 0;
for (int b = 1; b < c; ++b) {
pre_left[c][b] = count;
if (p[b] < p[c]) {
++count;
}
}
}
// 预处理right_suffix[b][k],表示对于b来说,从k到n中有多少满足pd < pb
vector<vector<int>> right_suffix(n + 2, vector<int>(n + 2, 0));
for (int b = 1; b <= n; ++b) {
right_suffix[b][n + 1] = 0;
for (int k = n; k >= 1; --k) {
right_suffix[b][k] = right_suffix[b][k + 1] + (p[k] < p[b] ? 1 : 0);
}
}
long long ans = 0;
for (int c = 1; c <= n; ++c) {
for (int b = 1; b < c; ++b) {
int a_count = pre_left[c][b];
int d_count = right_suffix[b][c + 1];
ans += static_cast<long long>(a_count) * d_count;
}
}
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}
```
### 代码解释
1. **输入处理**:读取输入数据,包括测试用例数量和每个排列。
2. **预处理左侧信息**:对于每个位置 c,计算每个位置 b < c 的左侧满足条件的数量。
3. **预处理右侧信息**:对于每个位置 b,计算从每个位置 k 到末尾满足条件的数量。
4. **组合结果**:遍历所有可能的 (b, c) 组合
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