vector<Point<T> *> vertices;里存放的是点的坐标，定义一个T area()函数来返回一个多面体或者面片的表面积。T是模板定义的类型。Polyhedron的表面积就是他所有面片的面积之和。一个面片可能是个三角形，也可能包含多于三个顶点。为了简单起见，我们假设所有的面片都是凸多边形。在计算凸多边形的表面积的时候我们可以简单的将其进行三角化。假设一个Facet有N条边，每个顶点坐标为vertices[0], vertices[1]…vertices[N-1]。那这个多边形可以被三角化为N-2个三角形，分别是{vertices[0], vertices[1], vertices[2]}, {vertices[0], vertices[2], vertices[3]}、、、、{vertices[0], vertices[N-2], vertices[N-1]}。

以下是对应的 C++ 代码实现： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; template<typename T> struct Point { T x, y, z; }; template<typename T> class Facet { public: Facet() = default; Facet(const vector<Point<T>>& vertices): vertices_(vertices) {} T area() const { T area = 0; for (int i = 2; i < vertices_.size(); i++) { Point<T> v1 = vertices_[i] - vertices_[0]; Point<T> v2 = vertices_[i-1] - vertices_[0]; Point<T> cross = cross_product(v1, v2); area += length(cross) / 2; } return area; } private: vector<Point<T>> vertices_; Point<T> cross_product(const Point<T>& v1, const Point<T>& v2) const { Point<T> cross; cross.x = v1.y * v2.z - v1.z * v2.y; cross.y = v1.z * v2.x - v1.x * v2.z; cross.z = v1.x * v2.y - v1.y * v2.x; return cross; } T length(const Point<T>& p) const { return sqrt(p.x * p.x + p.y * p.y + p.z * p.z); } }; template<typename T> class Polyhedron { public: Polyhedron() = default; Polyhedron(const vector<Facet<T>>& facets): facets_(facets) {} Point<T> get_low() const { Point<T> low = facets_[0].vertices_[0]; for (const Facet<T>& facet : facets_) { for (const Point<T>& vertex : facet.vertices_) { low.x = min(low.x, vertex.x); low.y = min(low.y, vertex.y); low.z = min(low.z, vertex.z); } } return low; } Point<T> get_high() const { Point<T> high = facets_[0].vertices_[0]; for (const Facet<T>& facet : facets_) { for (const Point<T>& vertex : facet.vertices_) { high.x = max(high.x, vertex.x); high.y = max(high.y, vertex.y); high.z = max(high.z, vertex.z); } } return high; } T area() const { T area = 0; for (const Facet<T>& facet : facets_) { area += facet.area(); } return area; } private: vector<Facet<T>> facets_; }; int main() { vector<Point<double>> vertices1 = {{-1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}; Facet<double> facet1(vertices1); vector<Point<double>> vertices2 = {{0, 1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 1}}; Facet<double> facet2(vertices2); vector<Facet<double>> facets = {facet1, facet2}; Polyhedron<double> polyhedron(facets); Point<double> low = polyhedron.get_low(); Point<double> high = polyhedron.get_high(); cout << "Low: (" << low.x << ", " << low.y << ", " << low.z << ")" << endl; cout << "High: (" << high.x << ", " << high.y << ", " << high.z << ")" << endl; cout << "Area: " << polyhedron.area() << endl; return 0; } ``` 其中，Point 类表示一个三维点，Facet 类表示一个面片，Polyhedron 类表示一个多面体。在 Facet 类中，area 函数通过三角化计算凸多边形的表面积。在 Polyhedron 类中，get_low 和 get_high 函数分别计算多面体的顶点坐标的下界和上界，area 函数通过累加所有面片的面积计算多面体的表面积。

这段代码是用于判断一个多边形是否被另一个多边形包含，并计算出多边形1与多边形2之间的“外部面积”。其中，函数的输入参数是两个多边形的顶点坐标向量，输出参数是外部面积。函数的实现过程是，对于多边形1的每个顶点，计算其到多边形2的距离。如果该距离小于0，则判定该顶点在多边形2外部，需要计算多边形1在多边形2外部的面积。计算面积的方法是，先判断两个多边形是否都是凸多边形，如果是则使用cv::intersectConvexConvex函数计算两个多边形的交集；如果不是，则使用cv::boundingRect函数计算两个多边形的外接矩形，并在该矩形内部构造一个新的二值图像，将多边形1和多边形2分别填充到该二值图像中，并使用cv::findContours函数找到交集多边形的轮廓。最后，使用cv::contourArea函数计算多边形1和交集多边形的面积，相减即为多边形1在多边形2外部的面积。如果多边形1的所有顶点都在多边形2内部，则返回true，否则返回false。