第1关：关系的性质 300 学习内容 记录 评论 关卡排行榜 一、实验目的 二、实验项目性质 三、实验内容 四、实验原理 五、实验步骤及注意事项 六、问题描述 输入输出 一、实验目的 1）通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为自反关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法。 2）通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为对称关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法。 3）通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为传递关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法。 4）通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为自反的、对称的和传递关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断等价关系的方法。 5）通过算法设计并编程实现求给定关系的各种闭包运算，加深学生对闭包运算的概念的理解。 二、实验项目性质 综合性 三、实验内容 1）已知关系R由关系矩阵M给出，要求判断由M表示的这个关系是否为自反关系。 2）已知关系R由关系矩阵M给出，要求判断由M表示的这个关系是否为对称关系。 3）已知关系R由关系矩阵M给出，要求判断由M表示的这个关系是否为传递关系。 4）给定R的关系矩阵，据此判断所给关系R是否为等价关系。 5）给定关系R，求R的自反闭包及R的对称闭包。 四、实验原理 1）从给定的关系矩阵来断判关系R是否为自反是很容易的。若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为1，则R是自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为0，则R是反自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素既有1又有0，则R既不是自反关系也不是反自反关系。本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。 2）从给定的关系矩阵来判断关系R是否为对称是很容易的。若M（R的关系矩阵）为对称矩阵，则R是对称关系；若M为反对称矩阵，则R是反对称关系。因为R为对称的是等价关系的必要条件，所以，本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。 3）一个关系R的可传递性定义告诉我们，若关系R是可传递的，则必有：m ik ​ =1∧m kj ​ =1⇒m ij ​ =1。这个式子也可改写成为：m ij ​ =0⇒m ik ​ =0∨m kj ​ =0。我们可以根据后一个公式来完成判断可传递性这一功能的。可传递性也是等价关系的必要条件，所以，本算法也可以作为判等价关系算法的子程序给出。 4）设R为非空集合A上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的, 则称R为A上的等价关系。 5）若关系R的关系矩阵为M，而自反闭包为A（即r（R）=A），对称闭包为B（即S（R）=B），则A=M∪I，B=M∪M T ，其中，I为恒等矩阵，M T 为M的转置矩阵。传递闭包可采用Warshall算法求得（见后面思考题说明）。 五、实验步骤及注意事项 1）自反性判定 ① 输入关系矩阵M（M为n阶方阵）； ② 判断自反性，对于i=1，2，…，n；若存在m ii ​ =0，则R不是自反的；若存在m ii ​ =1，则R是自反的；否则R既不是自反关系也不是反自反关系； ③ 输出判断结果。 2）对称性判定 ① 输入关系矩阵M（M为n阶方阵）； ② 判断对称性，对于i=2,3,…,n; j=1,2,…,i−1，若存在m ij ​ =m ji ​ ，则R是对称的； ③ 判断反对称性； ④ 判断既是对称的又是反对称的； ⑤ 判断既不是对称的又不是反对称的； ⑥ 输出判断结果。 六、问题描述 给定关系R的关系矩阵M，判断由M表示的该关系R是否为自反关系、反自反关系、对称关系、反对称关系和传递关系。 输入输出 【输入】//关系矩阵M 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 【输出】 是自反关系 不是反自反关系 不是对称关系 不是反对称关系 不是传递关系 开始你的任务吧，祝你成功！

### 判断关系矩阵的自反性、对称性、传递性及等价关系和闭包运算 #### 1. 自反性判断 对于一个 $ n \times n $ 的布尔矩阵 $ A $，其自反性可以通过检查主对角线上所有的元素是否均为 1 来完成。具体来说，如果满足条件 $ a_{ii} = 1 $ （$ i = 1, 2, ..., n $），则该矩阵具有自反性[^1]。 以下是实现自反性判断的 Python 代码： ```python def is_reflexive(matrix): n = len(matrix) for i in range(n): if matrix[i][i] != 1: return False return True ``` --- #### 2. 对称性判断 矩阵的对称性是指任意两个位置上的元素满足 $ a_{ij} = a_{ji} $ ($ i, j = 1, 2, ..., n $)。换句话说，矩阵应与其转置矩阵相同[^2]。 以下是实现对称性判断的 Python 代码： ```python def is_symmetric(matrix): n = len(matrix) for i in range(n): for j in range(i + 1, n): # 只需遍历上三角部分 if matrix[i][j] != matrix[j][i]: return False return True ``` --- #### 3. 传递性判断 传递性意味着如果存在路径使得从节点 $ i $ 经过若干步到达节点 $ k $ 和从节点 $ k $ 再经过若干步到达节点 $ j $，那么也必然可以从节点 $ i $ 直接一步到达节点 $ j $。这通常通过计算传递闭包并验证原始矩阵与闭包的一致性来完成[^4]。 以下是实现传递性判断的 Python 代码（基于 Floyd-Warshall 算法）： ```python def compute_transitive_closure(matrix): n = len(matrix) closure = [[matrix[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)] for k in range(n): for i in range(n): for j in range(n): closure[i][j] = closure[i][j] or (closure[i][k] and closure[k][j]) return closure def is_transitive(matrix): transitive_closure = compute_transitive_closure(matrix) n = len(matrix) for i in range(n): for j in range(n): if matrix[i][j] != transitive_closure[i][j]: return False return True ``` --- #### 4. 等价关系判断 等价关系是一个二元关系，它同时具备 **自反性**、**对称性** 和 **传递性**。因此，只需依次调用上述三个函数进行验证即可[^2]。 以下是实现等价关系判断的 Python 代码： ```python def is_equivalence_relation(matrix): reflexive = is_reflexive(matrix) symmetric = is_symmetric(matrix) transitive = is_transitive(matrix) return reflexive and symmetric and transitive ``` --- #### 5. 闭包运算 ##### (a) 自反闭包 自反闭包是在原有矩阵的基础上，在主对角线的所有位置填充 1。这是为了确保矩阵具有自反性[^3]。 以下是实现自反闭包的 Python 代码： ```python def reflexive_closure(matrix): n = len(matrix) closure = [[matrix[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)] for i in range(n): closure[i][i] = 1 return closure ``` ##### (b) 对称闭包 对称闭包是通过对称化操作使矩阵变为对称形式。即，如果 $ a_{ij} = 1 $ 而 $ a_{ji} = 0 $，则将 $ a_{ji} $ 设置为 1。 以下是实现对称闭包的 Python 代码： ```python def symmetric_closure(matrix): n = len(matrix) closure = [[matrix[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)] for i in range(n): for j in range(i + 1, n): if matrix[i][j] == 1 or matrix[j][i] == 1: closure[i][j] = 1 closure[j][i] = 1 return closure ``` ##### (c) 传递闭包 传递闭包已经通过 `compute_transitive_closure` 函数实现了，详见第 3 部分。 --- ### 总结 以上提供了完整的算法和代码用于判断关系矩阵的自反性、对称性、传递性，并进一步支持等价关系检测以及各种闭包运算的实现。