1306最长公共上升子序列 c++ 打印路径

### C++ 实现最长公共上升子序列并打印路径 以下是一个完整的解决方案，包括动态规划算法的实现以及路径打印功能。 #### 动态规划与路径追踪 动态规划数组 `f[i][j]` 表示以序列 `a` 的前 `i` 个元素和序列 `b` 的前 `j` 个元素为范围，并且以 `b[j]` 结尾的最长公共上升子序列的长度。为了记录路径，使用辅助数组 `p[j]` 记录每个状态的前驱位置[^2]。 当 `a[i] == b[j]` 时，通过遍历所有满足 `b[k] < b[j]` 的位置 `k` 来更新当前状态，并同时记录最优前驱位置。最终通过回溯 `p[j]` 数组来构造具体的子序列[^2]。 #### 完整代码实现 以下是包含路径打印功能的完整 C++ 实现： ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr); int n, m; cin >> m; // 序列 b 的长度 vector<int> b(m + 1); // 序列 b for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> b[i]; cin >> n; // 序列 a 的长度 vector<int> a(n + 1); // 序列 a for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i]; // 定义 dp 数组 vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1, 0)); vector<int> p(m + 1, 0); // 用于记录路径 int ans = 0; // 最长公共上升子序列的长度 int end_pos = 0; // 子序列在 b 中的结束位置 // 动态规划填表 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= m; ++j) { if (a[i] == b[j]) { f[i][j] = 1; for (int k = 1; k < j; ++k) { if (b[k] < b[j] && f[i][j] < f[i - 1][k] + 1) { f[i][j] = f[i - 1][k] + 1; p[j] = k; // 记录前驱位置 } } } else { f[i][j] = f[i - 1][j]; } // 更新最大值及对应的结束位置 if (f[i][j] > ans) { ans = f[i][j]; end_pos = j; } } } // 输出最长公共上升子序列的长度 cout << ans << "\n"; // 回溯路径并输出具体子序列 stack<int> s; while (end_pos != 0) { s.push(b[end_pos]); end_pos = p[end_pos]; } while (!s.empty()) { cout << s.top() << " "; s.pop(); } cout << "\n"; return 0; } ``` #### 代码解析 1. **输入部分**：首先读取两个序列 `a` 和 `b` 的长度及其内容。 2. **动态规划数组初始化**：定义二维数组 `f[i][j]` 和一维数组 `p[j]` 分别存储状态值和路径信息。 3. **状态转移**： - 当 `a[i] == b[j]` 时，尝试从所有满足 `b[k] < b[j]` 的位置 `k` 更新当前状态，并记录最优前驱位置。 - 如果 `a[i] != b[j]`，则直接继承上一行的状态。 4. **路径回溯**：通过栈结构逆序存储路径，并最终输出具体子序列[^2]。 #### 时间复杂度分析 上述实现的时间复杂度为 \(O(n \times m^2)\)，其中 \(n\) 和 \(m\) 分别是序列 `a` 和 `b` 的长度。这是因为对于每个状态 `(i, j)`，需要遍历所有可能的前驱位置 `k` 来更新状态。 如果数据规模较大，可以进一步优化时间复杂度为 \(O(n \times m)\)，通过维护一个辅助数组记录当前最优解的位置。 --- ####