给定一个多边形的顶点坐标，求距离多边形的边距为r的包络，matlab并画图

<think>好的，我需要解决用户的问题：给定一个多边形的顶点坐标，求距离多边形的边距为r的包络，并在MATLAB中画图。让我仔细思考一下该怎么处理这个问题。 首先，用户所说的“包络”应该是指多边形的等距线，也就是将多边形的每条边向外（或向内）偏移一定距离r后形成的轮廓。这种等距线在计算机图形学或几何处理中常被称为“偏移多边形”或“缓冲多边形”。 接下来，我需要明确几个关键步骤： 1. **理解多边形偏移的原理**：每条边向外偏移r的距离，需要考虑边的方向，然后找到偏移后的线段。同时，相邻两条边的偏移线段之间需要连接起来，形成新的顶点。通常，这会涉及到计算两条偏移线段的交点，或者进行圆弧过渡（如果允许圆角的话）。但用户的问题可能更倾向于生成一个多边形的包络，可能需要处理尖角或斜接的情况。 2. **处理顶点处的连接**：当两条边向外偏移时，它们的偏移线段会在顶点处相交或形成缺口。这时候需要确定如何处理这些连接处。常见的方法有斜接（Miter）、圆角（Round）或斜切（Bevel）。用户没有明确说明，可能需要默认使用斜接方式，但需要设置一个斜接限制，避免过长的尖刺。 3. **计算偏移后的边**：对于每条边，确定其方向，计算其法线方向，然后向外移动距离r。例如，对于边AB，其方向向量为B - A，然后法线向量可以通过旋转90度得到，并归一化后乘以r，得到偏移后的新边。 4. **处理闭合多边形**：确保最后一个顶点连接到第一个顶点，形成闭合的环。 5. **在MATLAB中实现**：如何将这些几何操作转化为MATLAB代码，尤其是处理向量的计算，以及如何绘制原多边形和偏移后的包络。 接下来，我需要详细分解每个步骤，并考虑可能的难点和解决方案。 **步骤一：计算每条边的偏移方向** 对于多边形的每条边，由两个顶点P_i和P_{i+1}组成。边的方向向量可以表示为v = P_{i+1} - P_i。法线向量需要垂直于这个方向，并且向外。法线向量的方向有两种可能，取决于多边形的顶点是顺时针还是逆时针排列。这可能会导致问题，因为如果方向错误，偏移可能会向内而不是向外。因此，需要确定多边形的顶点顺序，或者让用户指定偏移方向。假设用户希望向外偏移，可能需要先判断多边形的顶点顺序是否正确，或者在计算法线时统一处理。 例如，假设顶点按逆时针顺序排列，则向外法线可以通过将方向向量逆时针旋转90度得到。具体来说，方向向量为(vx, vy)，则法线向量为(-vy, vx)归一化后的结果，再乘以r。不过，这可能需要确认顶点顺序是否正确。如果顶点顺序未知，可能需要先进行多边形方向的判断。 或者，用户可能希望不管原多边形的方向如何，都向外偏移。这时候可能需要根据多边形的面积符号来判断顶点顺序，进而确定法线的正确方向。例如，计算多边形的带符号面积，如果为正则是逆时针，否则为顺时针。然后根据这个调整法线方向。 这部分可能需要额外的代码来处理，但为了简化，暂时假设顶点是按逆时针排列的，或者用户会自行处理。或者，在计算法线时统一处理，例如，不管原方向如何，通过计算边的法线方向，然后根据偏移方向调整符号。 或者，直接为每条边计算两个方向的偏移，但这样可能会导致错误。所以这一步需要谨慎处理。 **步骤二：计算每条边的偏移线段** 对于每条边，将其两个顶点沿着法线方向移动r的距离，得到新的边。例如，原边AB的偏移边是A'B'，其中A' = A + n_A * r，B' = B + n_B * r，其中n_A和n_B是A点和B点处的法线方向吗？或者是否需要沿边的法线方向移动整个边？ 这里可能容易混淆。正确的做法是，每条边的偏移应该沿着该边的单位法线方向移动r的距离。例如，对于边AB，其方向向量为B - A，单位法线向量为n = [-dy, dx]/length，其中dx = Bx - Ax，dy = By - Ay。然后将整条边沿着n方向移动r的距离，得到新的边A'B'，其中A' = A + n*r，B' = B + n*r。这样，原边AB偏移后的边A'B'与原边平行，距离为r。 不过，这样处理之后，相邻两条边的偏移边之间的端点并不相连，而是存在间隙，需要通过计算它们的交点来形成新的顶点。例如，边AB的偏移边是A'B'，边BC的偏移边是B''C'，那么需要找到A'B'和B''C'的交点，作为新多边形的顶点。 因此，步骤大致如下： 1. 对每条边计算其单位法线向量n_i，方向向外。 2. 对每条边的两个顶点P_i和P_{i+1}，计算偏移后的点P'_i = P_i + n_i * r，P'_{i+1} = P_{i+1} + n_i * r。 3. 对于相邻的两条偏移边（如边i的偏移边和边i+1的偏移边），计算它们的交点，作为新顶点。 4. 所有交点连接起来形成偏移后的多边形。 但这里有个问题，如何计算相邻两条偏移边的交点？ 假设边i的偏移边是线段(P'_i, P'_{i+1})，边i+1的偏移边是线段(Q'_i, Q'_{i+1})。但实际上，边i+1的偏移边对应的原边是P_{i+1}到P_{i+2}，因此偏移后的边的两个顶点是P_{i+1} + n_{i+1} * r和P_{i+2} + n_{i+1} * r。所以相邻的两条偏移边是边i的偏移边（原边i的偏移）和边i+1的偏移边。这两条偏移边并不相邻，所以需要找到边i的偏移边的结束点（即原边i的结束点偏移后的点）和边i+1的偏移边的起始点（原边i+1的起始点偏移后的点）之间的连接方式。但这两个点可能并不直接相连，而是需要找到这两条偏移边的交点。 或者更准确地说，原多边形的每个顶点P_i，连接边i-1和边i。这两条边各自的偏移后的边会在某个点相交，这个交点就是新多边形的顶点。例如，原顶点P_i连接边i-1（从P_{i-1}到P_i）和边i（从P_i到P_{i+1}）。边i-1的偏移边是L1，边i的偏移边是L2。我们需要找到L1和L2的交点，这个交点就是新多边形的一个顶点。 因此，处理每个原顶点时，需要计算其前后两条边的偏移边的交点，从而得到新顶点。这样，新多边形的顶点数目与原多边形相同吗？可能不是，因为如果偏移后的边不相交，可能需要其他处理方式，比如斜接过长时进行截断，或者转为圆角。 所以，正确的步骤可能是： 对于每个顶点P_i： 1. 获取前一条边（边i-1）的单位法线向量n_prev。 2. 获取当前边（边i）的单位法线向量n_curr。 3. 将这两条边分别沿着各自的法线方向偏移r，得到两条新的直线。 4. 计算这两条偏移直线的交点，作为新顶点Q_i。 将所有Q_i连接起来，形成偏移后的多边形。 但如何计算这两条偏移直线的交点呢？ 假设原边i-1的直线方程为：原边是P_{i-1}到P_i。偏移后的直线是原边沿着n_prev方向移动r后的直线。原边的直线方程可以表示为ax + by + c = 0，偏移后的直线方程则为ax + by + (c - r * sqrt(a^2 + b^2)) = 0？或者更准确的方式是，原边的直线方程可以表示为点法式。例如，原边的法线向量是n_prev，所以偏移后的直线是原边平移r个单位沿n_prev方向。 对于直线的一般式ax + by + c = 0，其单位法线向量为(a, b)/sqrt(a² + b²)，所以偏移后的直线方程为ax + by + c' = 0，其中c' = c ± r*sqrt(a² + b²)，符号取决于偏移方向。或者更简单的方法是，对于原边上的任意点(x0,y0)，偏移后的直线上的点为(x0, y0) + n_prev * r，其中n_prev是单位法线向量。 但或许更有效的方法是利用参数方程。例如，原边i-1的参数方程为P(t) = P_{i-1} + t*(P_i - P_{i-1}), t∈[0,1]。偏移后的直线是原边沿着n_prev方向移动r后的直线，可以表示为P(t) + n_prev * r，其中n_prev是单位法线向量。因此，这条偏移直线与原边平行，距离为r。 同理，边i的偏移直线是原边i沿着n_curr方向移动r后的直线。 现在，需要找到这两条偏移直线的交点Q_i。如果这两条直线不平行，则有唯一交点；如果平行且距离足够，可能无法形成闭合的包络，但通常情况下，对于凸多边形，偏移后的相邻边会相交，但对于凹多边形，可能会出现自交等问题，导致偏移后的多边形无效。但用户的问题可能假设多边形是简单的，或者需要处理这些情况。 因此，计算两个偏移直线的交点是关键步骤。这可以通过求解两条直线的交点来实现。 假设边i-1偏移后的直线为L1，边i偏移后的直线为L2。我们需要求解L1和L2的交点Q_i。 如何用数学方法求解两条直线的交点？ 假设L1由点A1和方向向量v1定义，L2由点A2和方向向量v2定义。或者，更直接地，L1和L2是原边的偏移直线，可以用一般式方程表示。 例如，原边i-1的两个顶点是P_{i-1}和P_i，其方向向量为d_prev = P_i - P_{i-1}。单位法线向量n_prev = [-d_prev(2), d_prev(1)] / norm(d_prev)。因此，偏移后的直线L1是原边i-1沿着n_prev方向移动r后的直线。原边i-1的直线方程可以表示为：d_prev(1)*(y - P_{i-1}(2)) - d_prev(2)*(x - P_{i-1}(1)) = 0，或者类似的表达式。或者更简便的方式是，偏移后的直线L1的方程可以表示为：原边的方程加上偏移量。 另一种方法是将原边i-1的直线参数化，并沿法线方向偏移r。例如，原边的任意点P(t) = P_{i-1} + t*(P_i - P_{i-1})，偏移后的点P'(t) = P(t) + n_prev * r。那么L1是所有这些点构成的直线。同样，原边i的偏移直线L2由P_i + t*(P_{i+1} - P_i) + n_curr * r构成。 现在，需要找到L1和L2的交点Q_i。这可以通过解两个参数方程的交点，或者转换为直线的一般式来求解。 例如，L1可以表示为两点：原边i-1的偏移后的两个端点，即P_{i-1} + n_prev*r和P_i + n_prev*r。这两个点构成的直线就是L1。同理，L2由P_i + n_curr*r和P_{i+1} + n_curr*r构成的直线。 但是，这样得到的L1和L2可能并不相邻，或者它们的交点可能不在原多边形的顶点附近。例如，边i-1的偏移直线L1是从P_{i-1}偏移后的点到P_i偏移后的点，而边i的偏移直线L2是从P_i偏移后的点到P_{i+1}偏移后的点。但这两个偏移后的边的直线是L1和 L2，它们的交点可能位于原顶点P_i的附近，但需要准确计算。 或者，是否应该考虑每个顶点P_i处，由边i-1和边i的偏移直线的交点？例如，边i-1的偏移直线是原边i-1向外偏移r后的直线，边i的偏移直线是原边i向外偏移r后的直线。这两条直线的交点即为顶点P_i对应的新顶点Q_i。 所以，对于每个原顶点P_i，计算边i-1的偏移直线和边i的偏移直线的交点Q_i。所有Q_i按顺序连接起来，形成偏移后的多边形。 是的，这样处理的话，每个原顶点对应一个新顶点，因此新多边形的顶点数目与原多边形相同，前提是每条边的偏移直线在顶点处相交。如果两条偏移直线平行，则可能无法形成交点，这时需要特殊处理，比如延伸或截断，但这种情况通常出现在原多边形的相邻边平行的情况下，例如矩形的相邻边垂直，偏移后的边会形成斜接。 现在，问题转化为如何计算两条偏移直线的交点Q_i。 假设原边i-1的两个顶点是P_prev = (x1, y1)和P_i = (x2, y2)。原边i-1的方向向量是d_prev = (dx1, dy1) = (x2 - x1, y2 - y1)。其单位法线向量n_prev = (-dy1, dx1)/norm(d_prev)，然后偏移后的直线L1是将原边i-1沿n_prev方向移动r后的直线。类似地，原边i的两个顶点是P_i = (x2, y2)和P_next = (x3, y3)，方向向量d_curr = (dx2, dy2) = (x3 - x2, y3 - y2)，单位法线向量n_curr = (-dy2, dx2)/norm(d_curr)，偏移后的直线L2是将原边i沿n_curr方向移动r后的直线。 现在，L1和L2的方程是什么呢？ 对于L1，原边i-1的方程可以表示为：(x - x1)*dy1 - (y - y1)*dx1 = 0（因为方向向量是(dx1, dy1)，法线向量为(-dy1, dx1)，所以方程的形式为 -dy1*(x - x1) + dx1*(y - y1) = 0 → dx1*(y - y1) - dy1*(x - x1) = 0）。偏移后的直线L1是原边i-1沿n_prev方向移动r后的直线。n_prev是单位向量，所以移动后的直线方程为：dx1*(y - y1') - dy1*(x - x1') = 0，其中(x1', y1') = (x1, y1) + n_prev * r。或者更直接的方式，原边的方程加上偏移量。原边i-1的方程是dx1*(y - y1) - dy1*(x - x1) = 0。偏移后的直线与原边平行，所以方程形式相同，但常数项不同。偏移的距离为r，在法线方向，所以常数项的改变量是r * norm(d_prev)。因为原边的法线方程中的距离公式为 |ax + by + c| / sqrt(a² + b²)。因此，要移动距离r，需要调整c的值，使得新的c满足距离差为r。假设原方程为ax + by + c = 0，则偏移后的方程为ax + by + (c ± r*sqrt(a² + b²)) = 0，符号取决于方向。 不过，可能更简单的方法是直接构造偏移后的直线。例如，原边i-1的直线方程为A1x + B1y + C1 = 0，那么偏移后的直线方程为A1x + B1y + (C1 - D1*r) = 0，其中D1是原直线方程中的分母项，或者单位法线向量的调整因子。或者，可能需要重新计算。 或许更简单的方式是使用向量的方式。偏移后的直线L1是原边i-1平移n_prev*r后的直线。因此，直线L1上的任一点Q满足：(Q - P_prev) × d_prev = 0，但平移后，Q需要满足：(Q - (P_prev + n_prev*r)) × d_prev = 0。这里×代表向量的叉积，即判断点是否在直线上。 但为了找到L1和L2的交点Q_i，可能需要解两个直线方程。 对于L1，由边i-1偏移得到，其方程可以表示为： 原边i-1的方程为：d_prev × (Q - P_prev) = 0 → (x - x1)*dy1 - (y - y1)*dx1 = 0. 偏移后的直线L1方程为：(x - (x1 + n_prev_x * r)) * dy1 - (y - (y1 + n_prev_y * r)) * dx1 = 0. 同理，边i的偏移直线L2方程为：(x - (x2 + n_curr_x * r)) * dy2 - (y - (y2 + n_curr_y * r)) * dx2 = 0. 现在，需要解这两个方程的联立方程组，找到交点Q_i=(x, y)。 这看起来有点复杂，但可以尝试整理这两个方程： 方程1： (x - x1')*dy1 - (y - y1')*dx1 = 0 → dy1*x - dx1*y = dy1*x1' - dx1*y1' 其中x1' = x1 + n_prev_x * r，y1' = y1 + n_prev_y * r. 同理，方程2： dy2*x - dx2*y = dy2*x2' - dx2*y2' 其中x2' = x2 + n_curr_x * r，y2' = y2 + n_curr_y * r. 现在，这是一个二元一次方程组，可以用矩阵形式表示： 系数矩阵： [ dy1 -dx1 ] [ dy2 -dx2 ] 常数项： dy1*x1' - dx1*y1' dy2*x2' - dx2*y2' 解这个方程组，得到x和y。 行列式D = dy1*(-dx2) - (-dx1)*dy2 = -dy1*dx2 + dx1*dy2. 如果D不等于0，则有唯一解： x = [ (-dx2)*(dy1*x1' - dx1*y1') - (-dx1)*(dy2*x2' - dx2*y2') ] / D y = [ dy1*(dy2*x2' - dx2*y2') - dy2*(dy1*x1' - dx1*y1') ] / D 或者，可以写成： x = ( (dy1*x1' - dx1*y1')*dx2 - (dy2*x2' - dx2*y2')*dx1 ) / (dx1*dy2 - dy1*dx2) y = ( (dy1*x1' - dx1*y1')*dy2 - (dy2*x2' - dx2*y2')*dy1 ) / (dx1*dy2 - dy1*dx2) 不过，这可能比较繁琐。在MATLAB中，可以使用线性代数的方法来解这两个方程。例如，构造矩阵A和向量b，然后求解A*[x; y] = b。 但需要注意的是，当行列式D为零时，说明两条直线平行或重合，此时没有交点，或者有无穷多交点。这种情况下，如何处理？例如，当原多边形的相邻边平行时，它们的偏移直线也可能平行，导致无法形成交点，这时候可能需要连接偏移边的端点，或者进行其他处理。但这种情况比较复杂，可能需要额外处理。例如，当两条偏移直线平行时，可以取两个偏移边的端点之间的中点，或者直接连接偏移边的端点，但这可能导致包络出现缺口。 为了简化，假设原多边形的相邻边不平行，或者用户提供的多边形是凸的，这样偏移后的边总是相交，从而可以计算交点。 现在，综合以上分析，步骤可以总结为： 1. 输入多边形的顶点坐标，按顺序排列（顺时针或逆时针）。 2. 对每条边，计算其单位法线向量，方向向外。 3. 对每个顶点，计算其前一条边和后一条边的偏移直线的交点，作为新顶点。 4. 连接所有新顶点，形成偏移后的多边形。 5. 使用MATLAB绘制原多边形和偏移后的包络。 接下来，考虑如何在MATLAB中实现这些步骤。 **MATLAB实现步骤** 1. **定义多边形顶点**：用户需要输入多边形的顶点坐标，例如一个N×2的矩阵，每行是一个顶点的x和y坐标。 2. **处理顶点顺序**：计算多边形的面积，判断顶点顺序是顺时针还是逆时针。如果面积是正的，则为逆时针；否则为顺时针。如果是顺时针，可能需要反转顶点顺序，或者调整法线方向，以确保向外偏移。 计算带符号的面积可以使用以下公式： $$ \text{Area} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) $$ 其中顶点n+1是顶点1。 在MATLAB中，可以通过循环计算面积，然后根据符号判断方向。 3. **计算每条边的法线向量**： 对于每条边i（从顶点i到顶点i+1），计算方向向量dx = x(i+1) - x(i)，dy = y(i+1) - y(i)。单位法线向量为 (-dy, dx)/norm([dx, dy])。如果多边形是顺时针排列，可能需要取反，以确保法线方向向外。 或者，根据面积符号调整法线方向。例如，如果面积是负的（顺时针），则法线方向应取反。 4. **计算每个顶点处的新顶点**： 对于每个顶点i，找到前一条边（边i-1）的法线向量和后一条边（边i）的法线向量，然后计算两条偏移直线的交点。 需要注意处理顶点i=1时的前一条边是最后一条边，顶点i=N时的后一条边是第一条边（假设多边形是闭合的）。 5. **求解直线交点**： 对于每个顶点i，构造两条偏移直线，然后解联立方程得到交点。 6. **处理特殊情况**： 例如，当两条偏移直线平行时（行列式D接近零），可能需要特殊处理，比如延伸边或连接偏移边的端点。这里可能暂时忽略这种情况，假设所有边偏移后相交。 7. **绘制结果**： 使用plot函数绘制原多边形和偏移后的包络。 现在，考虑编写MATLAB代码的大致结构。 **代码结构** 1. 输入顶点坐标，例如： ```matlab polygon = [x1 y1; x2 y2; ... ; xn yn]; r = 0.5; % 边距 ``` 2. 判断顶点顺序，计算面积： ```matlab x = polygon(:,1); y = polygon(:,2); n = size(polygon,1); area = 0.5 * sum( x(1:end).*y([2:end,1]) - x([2:end,1]).*y(1:end) ); if area < 0 % 顺时针，反转顶点顺序 polygon = flipud(polygon); x = polygon(:,1); y = polygon(:,2); end ``` 3. 计算每条边的法线向量： ```matlab normals = zeros(n, 2); for i = 1:n % 当前边的两个顶点 current = polygon(i,:); next = polygon(mod(i,n)+1,:); dx = next(1) - current(1); dy = next(2) - current(2); % 单位法线向量，逆时针方向 normal = [-dy, dx] / sqrt(dx^2 + dy^2); normals(i,:) = normal; end ``` 4. 对每个顶点i，计算前一条边和后一条边的法线，然后求交点： ```matlab new_poly = zeros(n,2); for i = 1:n % 前一条边的索引（i-1） prev_i = mod(i-2, n) + 1; % 当i=1时，prev_i = n % 当前顶点i的前一条边是prev_i对应的边 % 前一条边的法线是 normals(prev_i,:) % 当前边的法线是 normals(i,:) % 前一条边的偏移直线L1：原边prev_i偏移r后的直线 % 当前边的偏移直线L2：原边i偏移r后的直线 % 需要求L1和L2的交点 % 原顶点i的坐标 P_i = polygon(i,:); % 前一条边（prev_i）的法线 n_prev = normals(prev_i,:); % 当前边（i）的法线 n_curr = normals(i,:); % 前一条边偏移后的直线方程：原边prev_i的方程偏移r后的直线 % 原边prev_i的起点是 polygon(prev_i,:)，终点是 polygon(prev_i+1,:) % 原边prev_i的方向向量 prev_edge = polygon(mod(prev_i,n)+1,:) - polygon(prev_i,:); dx_prev = prev_edge(1); dy_prev = prev_edge(2); % 原边prev_i的直线方程：dx_prev*(y - y_prev) - dy_prev*(x - x_prev) = 0 % 偏移后的直线方程：dx_prev*(y - (y_prev + n_prev(2)*r)) - dy_prev*(x - (x_prev + n_prev(1)*r)) = 0 x_prev = polygon(prev_i,1); y_prev = polygon(prev_i,2); % 偏移后的直线L1的方程：dx_prev*(y - (y_prev + n_prev(2)*r)) - dy_prev*(x - (x_prev + n_prev(1)*r)) = 0 % 展开： dx_prev*y - dx_prev*(y_prev + n_prev(2)*r) - dy_prev*x + dy_prev*(x_prev + n_prev(1)*r) = 0 % 即： -dy_prev*x + dx_prev*y + [ dy_prev*(x_prev + n_prev(1)*r) - dx_prev*(y_prev + n_prev(2)*r) ] = 0 A1 = -dy_prev; B1 = dx_prev; C1 = dy_prev*(x_prev + n_prev(1)*r) - dx_prev*(y_prev + n_prev(2)*r); % 当前边i的直线方程偏移后的直线L2 current_edge = polygon(mod(i,n)+1,:) - polygon(i,:); dx_curr = current_edge(1); dy_curr = current_edge(2); x_curr = polygon(i,1); y_curr = polygon(i,2); % 当前边i的偏移直线L2的方程：dx_curr*(y - (y_curr + n_curr(2)*r)) - dy_curr*(x - (x_curr + n_curr(1)*r)) = 0 % 同样展开： -dy_curr*x + dx_curr*y + [ dy_curr*(x_curr + n_curr(1)*r) - dx_curr*(y_curr + n_curr(2)*r) ] = 0 A2 = -dy_curr; B2 = dx_curr; C2 = dy_curr*(x_curr + n_curr(1)*r) - dx_curr*(y_curr + n_curr(2)*r); % 解方程组 A1x + B1y = -C1 和 A2x + B2y = -C2 % 构造矩阵方程： [A1 B1; A2 B2] * [x; y] = [-C1; -C2] M = [A1 B1; A2 B2]; b = [-C1; -C2]; if det(M) == 0 % 行列式为零，说明平行，无法相交，需要处理 % 这里暂时赋值为NaN，需要进一步处理 new_poly(i,:) = [NaN, NaN]; else sol = M \ b; new_poly(i,:) = sol'; end end ``` 但是，这里可能存在错误，例如原边prev_i的偏移直线是否正确？或者是否应该使用当前顶点i的前一条边和当前边的偏移直线？ 是的，每个顶点i连接的是前一条边（边prev_i）和当前边（边i）。因此，前一条边prev_i的偏移直线和当前边i的偏移直线应该在顶点i处相交，从而得到新顶点。 5. 处理可能出现的NaN值，比如当两条直线平行时，无法计算交点，这时候可能需要连接偏移边的端点，或者报错。但这里为了简化，假设所有边都能正确相交。 6. 绘制原多边形和新的包络： ```matlab figure; hold on; % 绘制原多边形 plot([x; x(1)], [y; y(1)], 'b-o', 'LineWidth', 2); % 绘制偏移后的包络 plot([new_poly(:,1); new_poly(1,1)], [new_poly(:,2); new_poly(1,2)], 'r--', 'LineWidth', 2); axis equal; grid on; legend('原多边形', '等距包络'); hold off; ``` 不过，上述代码可能存在几个问题： - 在计算前一条边的索引时是否正确？ - 当顶点i=1时，前一条边应该是最后一条边，即索引n。 - 在计算原边prev_i的偏移直线时，是否应该使用prev_i对应的边的法线向量？ 是的，因为prev_i是前一条边的索引，所以其法线向量是normals(prev_i,:)。 现在，测试这个代码是否可行。例如，用一个正方形作为输入： 假设多边形顶点为顺时针排列的正方形，经过面积判断后会被反转成逆时针。 polygon = [0 0; 1 0; 1 1; 0 1]; r = 0.1; 计算后的new_poly应该是一个更大的正方形，各边向外偏移0.1。 但需要验证交点是否正确。 可能的问题：当原多边形的相邻边垂直时，偏移后的边应该是向外扩展的正方形，各顶点处的交点应该是原顶点沿两个边的法线方向偏移后的交点。 例如，原顶点(1,0)，其前一条边是(0,0)-(1,0)，方向向右，法线向上（因为原多边形是逆时针，所以法线方向向外）。当前边是(1,0)-(1,1)，方向向上，法线向右。因此，偏移后的两条直线分别是原边向右偏移0.1（前一条边是水平向右，法线向上，所以偏移后向上0.1）和原边向上偏移0.1（当前边是垂直向上，法线向右，所以偏移后向右0.1）。这两条直线的交点是(1+0.1, 0+0.1)=(1.1,0.1)，这应该是新顶点之一。同理，其他顶点也会类似偏移。 所以，对于正方形，向外偏移r后的包络应该是一个更大的正方形，顶点在原顶点的右上方等位置。 如果代码正确，那么new_poly的顶点坐标应该是原顶点加上对应的法线方向的r之和的交点。 但根据上述代码的计算，是否真的得到正确的结果？ 例如，对于顶点i=2（假设索引从1开始），原顶点是(1,0)。前一条边是边1（顶点1到顶点2，即水平向右），法线方向是向上。当前边是边2（顶点2到顶点3，即垂直向上），法线方向是向右。这两条边的偏移直线分别是： 前一条边（边1）的偏移直线是原边向上偏移r，因此是y = 0 + r = 0.1。 当前边（边2）的偏移直线是原边向右偏移r，因此是x = 1 + r = 1.1. 它们的交点是(1.1, 0.1)，正确。 所以，代码中的方程是否正确？ 对于前一条边prev_i=1，其方向向量是(1-0, 0-0)=(1,0)，法线向量是(0,1)（因为原多边形是逆时针，所以法线向上）。因此，原边prev_i的直线方程是y=0。偏移后的直线方程是y=0 + r=0.1。对应的方程形式是0*x +1*y -0.1=0 → y=0.1. 当前边i=2的方向向量是(0,1)，法线向量是(1,0)（向右）。偏移后的直线方程是x=1 + r=1.1 → x=1.1. 联立方程y=0.1和x=1.1，交点(1.1,0.1)，正确。 在代码中，如何构造这两个方程？ 对于前一条边prev_i=1： dx_prev = 1-0=1， dy_prev=0-0=0. 法线向量n_prev = [-0, 1]/1 → (0,1). 因此，原边prev_i的直线方程是dx_prev*(y - y_prev) - dy_prev*(x -x_prev) = 0 → 1*(y - 0) -0*(x -0) =0 → y=0. 偏移后的直线方程：dx_prev*(y - (y_prev + n_prev(2)*r)) - dy_prev*(x - (x_prev + n_prev(1)*r)) =0 → 1*(y - (0 +1*r)) -0*(x - (0 +0*r))=0 → y = r. 即方程为 y = r. 对应的A1 = -dy_prev = -0 =0， B1 = dx_prev=1, C1= dy_prev*(x_prev + n_prev(1)*r) - dx_prev*(y_prev + n_prev(2)*r) = 0*(0 +0*r) -1*(0 +1*r) = -r. 所以方程是0*x +1*y = r → y=r. 当前边i=2： dx_curr=0， dy_curr=1. 法线向量n_curr = [-1,0]/1 → (-1,0)？或者是否应该根据方向调整？ 哦，这里发现问题：方向向量是(0,1)，即从顶点2到顶点3，方向向上。法线向量应该是向右还是向左？ 根据之前的计算，法线向量是[-dy, dx]/norm，其中dx=0， dy=1 → [-1, 0]. 单位法线向量是(-1,0)，但方向是否正确？ 原多边形是逆时针排列的顶点，所以法线方向应向外。对于边2（顶点2到顶点3，向上），法线向量应该是向右。因为当逆时针排列时，边的法线方向指向多边形外侧。例如，正方形的边向右时，法线向上；边向上时，法线向右。哦，这里可能出错了。 原边2是顶点2(1,0)到顶点3(1,1)，方向向量是(0,1)。法线向量应为向右，即(1,0)，而不是(-1,0)。这说明之前的计算有误。 啊，这里的关键错误是法线向量的方向是否正确。对于逆时针排列的多边形，边的法线方向应该向外。对于向上边的法线应该向右吗？ 不，对于逆时针排列的多边形，边的法线方向应该垂直于边并指向外侧。例如，正方形的边向右（x增加），法线应向上（y增加）；边向上（y增加），法线应向右（x增加）；边向左，法线向下；边向下，法线向左。 所以，对于边向量为(dx, dy)，其向外的法线向量应为 (-dy, dx) 吗？或者 (dy, -dx)？ 例如，当边向右（dx>0, dy=0），法线向上应该是(0,1)，即对于方向向量(1,0)，法线向量是(0,1)吗？或者需要另一种方式。 正确的计算方式：对于一个逆时针排列的多边形，边的方向向量为(dx, dy)，其向外的法线向量应指向多边形的外侧。这可以通过将方向向量逆时针旋转90度得到，即(-dy, dx)。例如，方向向量(1,0)（向右）旋转90度逆时针得到(0,1)，即向上，这是正确的。方向向量(0,1)（向上）旋转90度逆时针得到(-1,0)，即向左？但此时边的向上方向，多边形的外侧应该在右侧，因此法线方向应为向右，即(1,0)。这说明之前的计算可能错误。 这说明之前的法线向量计算有误。正确的法线向量应为 (dy, -dx) 吗？或者需要重新考虑旋转方向。 或者，正确的法线方向的计算应该是：对于逆时针多边形，边的向外的法线向量是 (-dy, dx) 归一化后的结果。例如，边方向向量是(1,0)，则法线是(0,1)（向上），正确。边方向向量是(0,1)，则法线是(-1,0)（向左），但这与预期相反，因为对于正方形的边向上，外侧应在右侧，即x增加的方向，因此法线应该向右，即(1,0)。 这说明存在矛盾，可能之前的法线向量计算方式错误。 问题出在如何确定法线向量的方向。正确的做法是：对于逆时针排列的多边形，边的法线向量应指向外侧。对于边向量(dx, dy)，其外侧法线向量可以通过将边向量逆时针旋转90度得到，即(-dy, dx)。例如，边向右的向量(1,0)，法线为(0,1)（向上）；边向上的向量(0,1)，法线为(-1,0)（向左）。但这对正方形的边向上来说，法线向左，而正方形的外侧应在右侧，所以这里明显错误。 这说明之前的法线向量计算方式是错误的。正确的做法应该是将边向量顺时针旋转90度得到法线向量，即 (dy, -dx)。 例如，边向右的向量(1,0)，顺时针旋转90度得到(0,-1)，即向下，这显然也不对。 这让我意识到，可能我之前的方向判断有误，必须重新考虑。 正确的法线方向的计算：对于逆时针多边形，边的法线应向外。例如，正方形的顶点按逆时针排列为(0,0), (1,0), (1,1), (0,1). 边从(1,0)到(1,1)是向上，其外侧方向是右侧（x>1的方向），所以法线向量应为(1,0)。而边向量是(0,1)，如何得到(1,0)的法线？ 这可以通过将边向量顺时针旋转90度得到。边向量(0,1)顺时针旋转90度得到(1,0)，这正是我们需要的法线方向。因此，法线向量应为 (dy, -dx) / norm，其中dx和dy是边向量的分量。 因此，正确的单位法线向量计算应为： normal = [dy, -dx] / sqrt(dx^2 + dy^2) 这样，对于边向量(1,0)，dx=1， dy=0，法线为[0, -1]/1 → (0,-1)，即向下？这显然不对，因为对于逆时针排列的正方形，边向右的边的外侧应该是向上。 这表明我可能在此处存在根本性的错误，需要重新推导法线方向。 正确的做法可能应该是：对于逆时针排列的多边形，边的外侧法线向量可以通过将边向量逆时针旋转90度得到。对于边向量(dx, dy)，逆时针旋转90度后的向量是(-dy, dx)。例如，边向右(1,0)的法线是(0,1)（向上）；边向上(0,1)的法线是(-1,0)（向左）。然而，对于正方形的边向上，外侧应该是在右侧（x>1的区域），所以法线应该向右，即(1,0)。这里显然矛盾，说明我的理解有误。 这可能意味着，我之前的假设是错误的。实际上，对于逆时针排列的多边形，边的外侧法线方向应该指向多边形的外部。例如，正方形的边向上（从(1,0)到(1,1)）的外侧是在右侧，即x>1的区域，所以法线方向应为向右，即(1,0)。但根据逆时针旋转90度得到的法线是(-dy, dx) → 对于边向量(0,1)，dy=1， dx=0 → (-1,0)，即向左，这与预期相反。 这说明我的法线方向的计算有误。正确的法线方向应该是将边向量顺时针旋转90度，这样对于边向量(0,1)，顺时针旋转90度得到(1,0)，即向右，正确。因此，法线向量应为 (dy, -dx) / norm. 因此，正确的单位法线向量计算应为： normal = [dy, -dx] / sqrt(dx^2 + dy^2) 这样，对于边向量(0,1)，dx=0, dy=1 → normal = (1, 0)/1 → (1,0)，正确。 对于边向量(1,0)，dx=1, dy=0 → normal = (0, -1)/1 → (0,-1)，即向下，这似乎与预期不符，因为对于正方形的边向右（如从(0,0)到(1,0)），其外侧应该在下侧（y<0的区域），所以法线向下是正确的，因为原多边形在边的上方（y>0的区域）。对于逆时针排列的正方形，边从(0,0)到(1,0)的右侧是外侧，即y<0的区域，因此法线向下是正确的。 哦，原来如此！我之前误解了外侧的方向。对于逆时针排列的多边形，其内部在边的左侧。因此，边向右的边的外侧是下方（y负方向），因此法线向下是正确的。 所以，当处理正方形时，边向右的边的法线向下，边向上的边的法线向右，边向左的边的法线向上，边向下的边的法线向左。这样，偏移r的距离会正确地将边向外移动。 例如，正方形的边从(0,0)到(1,0)向右，法线向下。偏移r后，这条边会向下移动r，形成y=-r的直线。同样，边从(1,0)到(1,1)向上，法线向右，偏移r后变成x=1+r的直线。这两条偏移后的直线的交点是(1+r, -r)，但实际期望的包络应该是一个更大的正方形，顶点在(1+r,0+r), 但这里明显矛盾，说明我的逻辑仍然有误。 这表明之前的分析存在严重错误，需要重新审视法线方向的计算。 正确的法线方向应该确保当将边向外偏移r时，包络线确实围绕原多边形。例如，正方形的边向右（从(0,0)到(1,0)）应该向外偏移到y=r方向，而不是向下。因此，可能之前的法线方向计算完全错误。 这时候，或许我应该参考权威的几何处理方法，例如，计算多边形的顶点是逆时针排列时，各边的法线方向应指向多边形外部。例如，边向右的边，其法线应向上，边向上的边，其法线应向右，以此类推。 正确的法线方向计算方式应该是：对于逆时针排列的多边形，各边的法线方向指向多边形外部。边的方向向量为(dx, dy) = (next.x - current.x, next.y - current.y). 边的法线向量应指向外侧，可以通过将方向向量逆时针旋转90度得到，即(-dy, dx)。然后单位化。 例如，边向右的向量(1,0)，逆时针旋转90度得到(0,1)，即向上，正确。边向上的向量(0,1)逆时针旋转90度得到(-1,0)，即向左，但这时候对于正方形的边向上，外侧应该在右侧，即法线应向右。这说明矛盾。 这说明问题出在方向判断上。可能对于逆时针排列的多边形，边的左侧是多边形内部，因此法线方向应指向右侧，即边的外侧在右侧。因此，边向量的法线方向应为顺时针旋转90度，即(dy, -dx). 例如，边向量(0,1)（向上），顺时针旋转90度得到(1,0)（向右），正确。边向量(1,0)（向右），顺时针旋转90度得到(0,-1)（向下），此时对于逆时针排列的正方形，边向右的边的外侧应该在下方，但实际正方形的内部在边的上方，所以外侧是下方，因此法线向下是正确的。这样，当向外偏移时，边向右的边会向下偏移，边向上的边会向右偏移，这样形成的包络会在原正方形的外部，形成一个更大的正方形，顶点在(1+r,0-r), (1+r,1+r), (0-r,1+r), (0-r,0-r)，这显然不是期望的结果。 这说明我的法线方向的计算仍然存在根本性错误，导致偏移方向错误。 或许，正确的做法是：对于逆时针排列的多边形，向外偏移的法线方向应指向多边形的外部，即边的右侧。例如，边向右时，法线向上；边向上时，法线向右。这样，偏移后的边会正确扩张。 此时，正确的法线向量计算应为将边向量逆时针旋转90度，即(-dy, dx)，然后归一化。例如，边向量(1,0)的逆时针旋转90度是(0,1)，法线向上；边向量(0,1)的逆时针旋转90度是(-1,0)，即向左，但这会导致边向上的边的法线向左，而实际外侧应在右侧，因此矛盾。 这说明我的理解仍然有误。或许应该根据多边形的顶点顺序来确定法线方向。例如，对于逆时针排列的多边形，边的法线方向应指向多边形的外部，这可以通过计算边的左侧是否为多边形内部来判断。 边的左侧是逆时针方向的下一条边，因此，对于逆时针多边形，内部在边的左侧，外侧在右侧。因此，法线方向应指向右侧，即边向量的顺时针旋转90度。 例如，边向量(1,0)（向右），顺时针旋转90度是(0,-1)（向下），这似乎不对，因为外侧应该在右侧，即y正方向。哦，这显然矛盾。 看来我需要一个更可靠的方法来确定法线方向。例如，通过计算顶点i的前一条边和后一条边的位置，确定法线方向应指向多边形的外部。 另一种方法是通过计算多边形的顶点顺序和边的方向，然后确定法线方向。例如，对于逆时针排列的多边形，法线方向应使得点积为负时点在多边形外部。 或者，可以参考计算偏移多边形的常用方法，比如使用Minkowski和，或者使用MATLAB中的buffer函数，但对于多边形的手动计算，可能还是需要正确计算法线方向。 经过反复思考，我认为正确的法线方向应为：对于逆时针排列的多边形，每条边的法线方向应指向多边形的外部。这可以通过将边向量逆时针旋转90度得到，即法线向量为(-dy, dx)，然后归一化。例如，边向量(1,0)逆时针旋转90度得到(0,1)，即法线向上，正确。边向量(0,1)逆时针旋转90度得到(-1,0)，即法线向左，但对于逆时针排列的正方形的边向上（从(1,0)到(1,1)），外侧应在右侧（x>1的区域），所以法线应该向右，即(1,0)，这与之前的计算结果(-1,0)矛盾。 这说明我的法线方向的计算方法存在根本性错误。可能问题出在边向量的定义上。例如，边从顶点i到顶点i+1的向量是( dx, dy )，但对于逆时针排列的多边形，边的右侧是外侧，所以法线方向应为顺时针旋转90度得到，即( dy, -dx )。 例如，边向量(0,1)（从(1,0)到(1,1)，向上），其顺时针旋转90度得到(1,0)，即向右，正确。边向量(1,0)（向右）顺时针旋转90度得到(0,-1)，即向下，正确，因为对于逆时针排列的正方形，边向右的边外侧是下方（y<0的区域），所以法线向下是正确的。这样，当偏移r时，边向右的边会向下偏移r，边向上的边会向右偏移r，从而形成一个更大的正方形，顶点在(1+r,0-r), (1+r,1+r), (0-r,1+r), (0-r,0-r)，但这样形成的正方形的顶点与原正方形的顶点的偏移方向是否正确？ 例如，原正方形的顶点(1,1)处的两条边是向右和向上，它们的法线分别是向下和向右，偏移后的直线相交于(1+r,1+r)，正确。这确实会形成一个更大的正方形，与原正方形各边相距r。 因此，正确的法线方向应为边向量的顺时针旋转90度，即法线向量为( dy, -dx )，然后归一化。 因此，在代码中，计算法线向量的部分应该修改为： normal = [dy, -dx] / norm([dx, dy]); 其中dx = next(1) - current(1)， dy = next(2) - current(2)。 这样，对于边向量(1,0)（向右），法线是(0,-1)（向下）；对于边向量(0,1)（向上），法线是(1,0)（向右），这符合预期。 因此，之前的代码中的法线计算部分有误，应该将normals(i,:) = [-dy, dx] / norm(...) 改为 [dy, -dx]/norm(...)。 这是关键错误所在，导致法线方向错误，进而导致偏移方向错误，最终交点计算错误。 现在，修正代码中的法线计算部分： ```matlab % 单位法线向量，顺时针旋转90度得到 normal = [dy, -dx] / sqrt(dx^2 + dy^2); normals(i,:) = normal; ``` 重新测试正方形的情况： 对于边prev_i=1（从(0,0)到(1,0)，dx=1, dy=0），法线是(0,-1)/1 → (0,-1)（向下）。偏移后的直线L1是原边向下移动r，即y=0 - r. 当前边i=2（从(1,0)到(1,1)，dx=0, dy=1），法线是(1,0)/1 → (1,0)（向右）。偏移后的直线L2是原边向右移动r，即x=1 + r. 这两条直线的交点是(x=1+r, y=0 - r)。对于r=0.1，交点为(1.1, -0.1)，但这不在原正方形的外部，反而在原正方形的下方，这显然错误。 这说明我的法线方向仍然计算错误，因为对于逆时针排列的正方形，边从(0,0)到(1,0)的右侧应该是在原正方形的外部，即y<0的区域，因此法线向下是正确的。偏移后的边向下移动r，与原正方形的边相距r，是正确的。但是，边从(1,0)到(1,1)的右侧是x>1的区域，所以法线向右是正确的，偏移后的边向右移动r，与原边相距r，正确。这两条偏移后的直线的交点在(1+r, 0 -r)，即原正方形的右下角向外偏移后的点，正确。这样形成的包络是原正方形的外扩，各边向外移动r，四个顶点位于(1+r, -r), (1+r,1+r), (-r,1+r), (-r,-r)，这样连接起来形成一个更大的正方形。 但用户期望的包络应该是一个与原正方形各边距离为r的区域，所以这样的结果正确。不过，这样的包络的顶点坐标是否正确？ 例如，原正方形的顶点(1,1)处，对应的两条边是向右和向上。向右的边（从(1,1)到(0,1)）的方向向量为(-1,0)，法线应为(0,1)（向上），偏移后的直线是y=1 + r。向上的边（从(1,1)到(1,0)）的方向向量为(0,-1)，法线应为(-1,0)（向左），偏移后的直线是x=1 - r. 这两条直线的交点是(x=1 - r, y=1 + r)，即原顶点(1,1)向左移动r，向上移动r，得到新顶点(1-r,1+r)。这与之前的分析不同，说明之前的正方形的例子可能存在错误。 这表明，我可能在法线方向的计算上仍然存在错误，需要重新审视。 重新分析： 对于逆时针排列的正方形顶点：(0,0) → (1,0) → (1,1) → (0,1) → (0,0). 边1：从(0,0)到(1,0)，方向向量(1,0). 法线向量应顺时针旋转90度得到(0,-1)（向下）。偏移后的直线是y=0 - r. 边2：从(1,0)到(1,1)，方向向量(0,1). 法线向量顺时针旋转90度得到(1,0)（向右）。偏移后的直线是x=1 + r. 这两条边的交点是(1 + r, 0 - r)，这在原正方形的右下角外侧，正确。 边3：从(1,1)到(0,1)，方向向量(-1,0). 法线向量顺时针旋转90度得到(0,1)（向上）。偏移后的直线是y=1 + r. 边4：从(0,1)到(0,0)，方向向量(0,-1). 法线向量顺时针旋转90度得到(-1,0)（向左）。偏移后的直线是x=0 - r. 这些偏移后的直线的交点形成的新顶点是： - 边1和边2的交点：(1+r, -r) - 边2和边3的交点：(1+r, 1+r) - 边3和边4的交点：(-r, 1+r) - 边4和边1的交点：(-r, -r) 这样连接起来形成一个更大的正方形，与原正方形的边距为r，正确。 因此，法线方向的计算是正确的。因此，在代码中，法线向量的计算应该为[dy, -dx]/norm。 现在，回到MATLAB代码，修正法线向量部分后，重新计算每个顶点的交点。 例如，对于顶点i=2（原顶点(1,0)），其前一条边是边1，法线向下，当前边是边2，法线向右。偏移后的边1的直线是y=0 - r，边2的直线是x=1 + r. 交点是(1+r, 0 - r). 因此，代码中的方程是否正确？ 对于边prev_i=1： dx_prev=1, dy_prev=0. normal_prev = [0, -1]. 原边prev_i的直线方程是y=0，偏移后的直线方程是y=0 - r. 在代码中，方程是： A1*x + B1*y = -C1. 根据代码中的计算： A1 = -dy_prev = 0 B1 = dx_prev = 1 C1 = dy_prev*(x_prev + n_prev(1)*r) - dx_prev*(y_prev + n_prev(2)*r) → dy_prev=0，所以第一项为0，第二项为dx_prev*(y_prev + n_prev(2)*r) =1*(0 + (-1)*r) = -r. 因此，方程是0*x +1*y = r → y = r. 但这与原边偏移后的直线是y=0 - r，即y = -r，这里出现矛盾，说明代码中的方程构造有误。 这说明代码中的方程构造存在错误。问题出在如何将原边偏移后的直线方程转换为标准形式。 重新分析方程构造步骤： 原边prev_i的直线方程是：dx_prev*(y - y_prev) - dy_prev*(x - x_prev) = 0 → 对于边1，dx_prev=1, dy_prev=0, x_prev=0, y_prev=0 → 1*(y - 0) -0*(x -0)=0 → y=0. 偏移后的直线L1是将这条边沿法线方向n_prev = (0,-1)移动r后的直线。因此，原边上的每个点(x, 0)变为(x, 0) + (0,-1)*r → (x, -r). 因此，新的直线L1是y=-r. 同样，当前边i=2的偏移后的直线L2是x=1 + r. 因此，联立这两个方程得到交点是(1 + r, -r). 但在代码中，方程构造可能出现了错误。例如，对于边prev_i=1： dx_prev=1, dy_prev=0. n_prev = [dy_prev, -dx_prev]/norm → [0, -1]. 偏移后的直线方程应该是在原边方程的基础上，将点沿n_prev移动r后的直线。原边方程是y=0，移动后是y=0 - r = -r. 代码中的方程构造是否正确？ 根据代码中的步骤： 方程1：dx_prev*(y - (y_prev + n_prev(2)*r)) - dy_prev*(x - (x_prev + n_prev(1)*r)) = 0. 其中x_prev=0， y_prev=0，n_prev(1)=0，n_prev(2)=-1. 代入得：1*(y - (0 + (-1)*r)) -0*(x - (0 +0*r)) =0 → y + r =0 → y = -r，正确。 同样，方程1可以表示为0*x +1*y = -r → 0x +1y +r=0 → 方程为y=-r. 因此，代码中的A1, B1, C1分别为： A1 = -dy_prev = 0 B1 = dx_prev =1 C1 = dy_prev*(x_prev + n_prev(1)*r) - dx_prev*(y_prev + n_prev(2)*r) → 0*(0+0*r) -1*(0 + (-1)*r) = r. 所以方程是 A1*x + B1*y = -C1 → 0*x +1*y = -r → y = -r，正确。 同样，对于边i=2： dx_curr=0, dy_curr=1. n_curr = [1, 0]. 偏移后的直线方程是x=1 + r. 代码中的方程2： dx_curr*(y - (y_curr + n_curr(2)*r)) - dy_curr*(x - (x_curr + n_curr(1)*r)) =0. x_curr=1, y_curr=0, n_curr(1)=1, n_curr(2)=0. 代入得：0*(y - (0 +0*r)) -1*(x - (1 +1*r)) =0 → -1*(x - (1+r))=0 → x=1+r. 方程2的A2=-dy_curr=-1, B2=dx_curr=0, C2= dy_curr*(x_curr + n_curr(1)*r) - dx_curr*(y_curr + n_curr(2)*r) →1*(1 +1*r) -0*(0+0*r) =1*(1+r). 所以方程2是 -1*x +0*y = -C2 → -x = -(1+r) → x=1+r. 联立方程1（y=-r）和方程2（x=1+r），交点是(1+r, -r)，正确。 因此，代码中的方程构造是正确的，当法线方向正确时，交点的计算也是正确的。 因此，问题出在之前的法线向量计算错误。修正法线向量计算部分后，代码应该能正确工作。 现在，总结正确的代码步骤： 1. 输入顶点，并确保它们按逆时针顺序排列。 2. 对每条边，计算顺时针旋转90度得到的法线向量，即[dy, -dx]/norm. 3. 对每个顶点i，找到前一条边prev_i和当前边i的偏移直线方程。 4. 解联立方程得到交点Q_i。 5. 连接所有Q_i，形成偏移后的多边形。 6. 绘制原多边形和偏移后的包络。 现在，修正代码中的法线计算部分，并测试。 测试案例：正方形顶点按逆时针排列，r=0.1. 原多边形顶点： 0 0 1 0 1 1 0 1 修正后的代码应生成新顶点： (1.1, -0.1) (1.1, 1.1) (-0.1, 1.1) (-0.1, -0.1) 连接这些点形成一个更大的正方形。 在MATLAB中，如果代码正确，绘制的结果应该显示原正方形和外围的正方形，距离为0.1。 此外，还需要注意顶点闭合的问题，即在计算新多边形时，最后一个顶点应连接到第一个顶点。 经过这些修正，代码应该可以正确运行。 可能的另一个问题是，在计算行列式D时，由于浮点精度问题，det(M)可能接近零但不为零，导致数值不稳定。但在实际应用中，对于简单多边形，这种情况应该较少，或者可以通过增加容差来处理。 总结，最终的MATLAB代码应包括以下步骤： - 输入顶点并确保逆时针顺序。 - 计算每条边的法线向量。 - 对每个顶点计算前后边偏移后的直线交点。 - 绘制结果。 现在，给出完整的MATLAB代码示例，并附上说明。</think>以下是在MATLAB中实现多边形等距包络的步骤及代码： ### 步骤说明 1. **输入多边形顶点**：按行输入顶点坐标，确保逆时针顺序（若为顺时针，代码会自动调整）。 2. **计算法线向量**：对每条边计算向外的单位法线向量。 3. **生成偏移直线**：将每条边沿法线方向偏移距离$r$，得到新的直线方程。 4. **求解交点**：对每个顶点，计算其前一条和当前边的偏移直线交点，作为包络顶点。 5. **绘制结果**：绘制原多边形和偏移后的包络。 ### MATLAB代码 ```matlab % 输入多边形顶点（示例：正方形） polygon = [0 0; 1 0; 1 1; 0 1]; r = 0.1; % 边距 % 判断顶点顺序并调整为逆时针 x = polygon(:,1); y = polygon(:,2); n = size(polygon,1); area = 0.5 * sum( x(1:end).*y([2:end,1]) - x([2:end,1]).*y(1:end) ); if area < 0 polygon = flipud(polygon); x = polygon(:,1); y = polygon(:,2); end % 计算每条边的单位法线向量（顺时针旋转90度） normals = zeros(n, 2); for i = 1:n current = polygon(i,:); next = polygon(mod(i,n)+1,:); dx = next(1) - current(1); dy = next(2) - current(2); normal = [dy, -dx] / sqrt(dx^2 + dy^2); normals(i,:) = normal; end % 计算每个顶点的偏移交点 new_poly = zeros(n,2); for i = 1:n prev_i = mod(i-2, n) + 1; % 前一条边索引 % 前一条边的参数 prev_edge = polygon(mod(prev_i,n)+1,:) - polygon(prev_i,:); dx_prev = prev_edge(1); dy_prev = prev_edge(2); x_prev = polygon(prev_i,1); y_prev = polygon(prev_i,2); n_prev = normals(prev_i,:); % 当前边的参数 current_edge = polygon(mod(i,n)+1,:) - polygon(i,:); dx_curr = current_edge(1); dy_curr = current_edge(2); x_curr = polygon(i,1); y_curr = polygon(i,2); n_curr = normals(i,:); % 构造前一条边偏移后的直线方程 A1x + B1y = -C1 A1 = -dy_prev; B1 = dx_prev; C1 = dy_prev*(x_prev + n_prev(1)*r) - dx_prev*(y_prev + n_prev(2)*r); % 构造当前边偏移后的直线方程 A2x + B2y = -C2 A2 = -dy_curr; B2 = dx_curr; C2 = dy_curr*(x_curr + n_curr(1)*r) - dx_curr*(y_curr + n_curr(2)*r); % 解线性方程组 M = [A1 B1; A2 B2]; b = [-C1; -C2]; if abs(det(M)) < 1e-6 new_poly(i,:) = [NaN, NaN]; else sol = M \ b; new_poly(i,:) = sol'; end end % 绘制结果 figure; hold on; plot([x; x(1)], [y; y(1)], 'b-o', 'LineWidth', 2); % 原多边形 plot([new_poly(:,1); new_poly(1,1)], [new_poly(:,2); new_poly(1,2)], 'r--', 'LineWidth', 2); % 包络 axis equal; grid on; legend('原多边形', '等距包络'); title('多边形及其等距包络'); hold off; ``` ### 结果说明 - **原多边形**：蓝色实线，顶点按逆时针排列。 - **等距包络**：红色虚线，距离原多边形各边$r$，通过计算偏移直线的交点生成。  ### 注意事项 - **顶点顺序**：代码自动检测并调整顶点为逆时针顺序。 - **特殊情況**：若相邻边平行（如矩形），偏移直线可能无交点，需额外处理（示例代码返回NaN，需根据实际需求调整）。 - **数值稳定性**：使用`det(M)`判断是否可解，避免除零错误。