pinn求解nls

### 使用物理信息神经网络 (PINN) 求解非线性薛定谔方程 #### 物理背景与模型描述 非线性薛定谔方程（Nonlinear Schrödinger Equation, NLS）是一类重要的偏微分方程，在光学、流体力学等领域有着广泛应用。该方程的一般形式为： \[ i\psi_t + \frac{1}{2}\psi_{xx} + |\psi|^2\psi = 0 \] 其中 \(i\) 是虚数单位，\(t\) 表示时间变量，\(x\) 表示空间位置，而 \(\psi(x,t)\) 则表示波函数。 为了利用物理信息神经网络求解上述方程，可以采用深度学习框架中的自动微分功能来计算所需导数项，并通过最小化损失函数的方式逼近真实解[^1]。 #### 构建PINN架构 在PyTorch环境下实现这一过程时，通常会设计一个多层感知机作为基础结构，输入节点接收时间和空间坐标参数，输出则对应于待求解的复数值场分布。对于每一个训练样本点来说，除了满足给定初边值条件外，还需要确保残差尽可能接近零以体现原方程约束关系[^2]。 ```python import torch from torch import nn class Net(nn.Module): def __init__(self, layers): super().__init__() self.linears = nn.ModuleList([nn.Linear(layers[i], layers[i+1]) for i in range(len(layers)-1)]) def forward(self, x): if not torch.is_tensor(x): x = torch.from_numpy(x) a = x.float() for l in self.linears[:-1]: z = l(a) a = torch.tanh(z) a = self.linears[-1](a) return a ``` 此代码片段展示了如何创建一个简单的全连接前馈神经网络用于后续处理步骤中。 #### 定义损失函数并优化 考虑到实际应用场景下的数据稀疏性和噪声干扰等因素影响，合理的损失函数设置至关重要。一般情况下，总的目标函数由两部分组成：一是基于已知边界/初始条件下产生的误差；二是衡量PDE本身成立程度所带来的惩罚项。具体表达式可写作： \[ L = MSE_u + \lambda_1MSE_f \] 这里 \(MSE_u\) 和 \(MSE_f\) 分别代表观测值偏差平方均值以及内部区域内的残差平均大小，权重系数 \(\lambda_1\) 控制两者间相对重要性的平衡[^3]。 ```python def compute_loss(net, X_collocation, u_boundary, device='cpu'): criterion = nn.MSELoss() # 边界条件损失 pred_bc = net(u_boundary).to(device) mse_u = criterion(pred_bc, true_values_at_boundaries) # PDE残差损失 psi_pred = net(X_collocation.requires_grad_(True)).to(device) grad_psi = torch.autograd.grad(outputs=psi_pred.sum(), inputs=X_collocation, create_graph=True)[0].to(device) pde_residuals = ... # 根据具体的PDE定义这部分 mse_f = criterion(pde_residuals, torch.zeros_like(pde_residuals)) loss = mse_u + lambda_param * mse_f return loss ``` 以上伪代码说明了怎样组合不同类型的监督信号形成最终要被梯度下降算法所极小化的综合指标体系。 #### 训练流程概览 完成前述准备工作之后即可进入迭代更新阶段直至收敛为止。期间需注意调整超参配置比如批次规模(batch size)，最大轮次(max epochs)等参数从而获得更优性能表现。 ---